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QUESTIONS

connaît une des jambes de l’angle droite et le rectangle de l’hypothénuse par l’autre jambe de l’angle droit ?

Soit $\mathrm {ABX}$ (fig. 3) un triangle rectangle dont on connaît une des jambes $\mathrm {AB}$ de l’angle droit ; et le rectangle de l’hypothénuse $\mathrm {AX}$ par l’autre jambe $\mathrm {BX}$ de l’angle droit ; on demande ce triangle.

Que le rectangle donné $\mathrm {AX\times BY}$ soit égal au rectangle du côté donné $\mathrm {AB}$ par une droite $\mathrm {L}$ , en sorte qu’on ait $\mathrm {AX\times BX=AB\times L}$ ;

on déduira de là

{\begin{aligned}\mathrm {AX:AB} =&\mathrm {L:BX} ,\\{\text{et}}\ \qquad \qquad \qquad \mathrm {AX^{2}:AB^{2}} =&\mathrm {L^{2}:BX^{2}} ,\\{\text{d’où}}\qquad \qquad \mathrm {AX^{2}:AB\times L} =&\mathrm {AB\times L:BX^{2}} .\\\end{aligned}}

Soit conçue la droite $\mathrm {XZ}$ perpendiculaire à $\mathrm {AX}$ et qui rencontre en $\mathrm {Z}$ le côté $\mathrm {AB}$ prolongé, on aura

\mathrm {AX^{2}=AB\times AZ,\quad BX^{2}=AB\times BZ\,;}

donc

\mathrm {AZ:L=L:BZ\,;}

donc on connaît la différence $\mathrm {AB}$ et le rectangle $\mathrm {L^{2}}$ des deux droites $\mathrm {AZ}$ et $\mathrm {BZ} \,;$ donc ces droites sont données.

Construction. Que le côté $\mathrm {AB}$ soit prolongé en $\mathrm {Z}$ , de manière que le rectangle $\mathrm {AZ\times BZ}$ soit égal au carré de la droite donnée $\mathrm {L}$ . Sur $\mathrm {AZ}$ , comme diamètre, soit décrit un demi-cercle dont la circonférence rencontre en $\mathrm {X}$ la perpendiculaire à $\mathrm {AB}$ élevée depuis le point $\mathrm {B}$ ; en menant $\mathrm {AX}$ , le triangle $\mathrm {AXB}$ sera le triangle demandé.