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RÉSOLUES.

Remarque. On peut traiter ce problème d’une manière purement algébrique comme il suit

Soient

$\mathrm {AX} =x,\quad \mathrm {BX} =y,\quad \mathrm {AB} =a,$

les équations du problème seront

$x^{2}-y^{2}=a^{2},\quad xy=al,$

ajoutant au carré de la première le quadruple du carré de la seconde, il viendra, en extrayant la racine quarrée de l’équation résultante,

$x^{2}+y^{2}=2a{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}a^{2}+l^{2}}},$

mais on a $\qquad \qquad \qquad x^{2}-y^{2}=a^{2}\,;$

donc

$x^{2}=a\left\{{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}a^{2}+l^{2}}}+{\tfrac {1}{2}}a\right\}$

$y^{2}=a\left\{{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}a^{2}+l^{2}}}-{\tfrac {1}{2}}a\right\}$

§. 2.

LEMME. II. Soient deux droites parallèles entre elles, données de position ; et soit un point donné de position, sur le plan de ces droites. On demande, sur l’une des parallèles, un point duquel menant deux droites perpendiculaires entre elles, dont une passe par le point donné, et dont l’autre soit terminera la seconde des parallèles données, la différence des carrés de ces droites soit donnée ?

Soient $\mathrm {AA',BB',}$ (fig. 4) deux droites parallèles entre elles, données de position ; et soit $\mathrm {P}$ un point donné sur le plan de ces parallèles. On demande, sur l’une de ces droites, telle que $\mathrm {AA',}$ un point $\mathrm {X,}$ duquel menant deux droites, l’une $\mathrm {XP}$ au point donné $\mathrm {P,}$ et l’autre $\mathrm {XZ,}$ perpendiculaire à $\mathrm {XP,}$ et terminée en $\mathrm {Z}$ à l’autre parallèle ; la différence des carrés de $\mathrm {XZ}$ et de $\mathrm {PX}$ soit donnée de grandeur ?

Les points $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Z}$ soient abaissées sur $\mathrm {AA'}$ les perpendiculaires