; du point comme centre, et avec le double de la distance des
centres pris pour rayon, soit décrit un arc coupant en et , et
soient menés ; en tirant par des parallèles à ces deux
droites, rencontrant les deux circonférences, l’une en et l’autre en
, on aura .
PROBLÈME I. Construire un triangle qui soit égal à un triangle donné, et dont les côtés, prolongés s’il est nécessaire, passent respectivement par trois points donnés.
Il est entendu que l’on désigne à l’avance ceux des points donnés par lesquels doivent passer respectivement les côtés ou prolongemens de côtés du triangle donné. Mais, s’il en était autrement, il arriverait seulement que le nombre des solutions du problème en deviendrait, en général, six fois plus grand, comme l’a observé M. Rochat.
Soient donc (fig. 6) un triangle donné, et trois points donnés, il s’agit de construire un triangle égal à , et tellement situé que le point soit sur la direction du côté égal à , le point sur la direction du côté égal à , et le point sur la direction du côté égal à .
Solution. MM. Vecten, Rochat et Fauquier ont également réduit la solution du problème à ce qui suit.
Sur les distances de l’un quelconque des points donnés aux deux autres prises pour corde, soient décrits des arcs respectivement capables des angles , du triangle donné ; par soit menée (Lemme) une droite dont la portion interceptée entre les circonférences dont ces arcs font partie soit égale à ; soient respectivement , les points où cette droite coupe les circonférences passant par en menant et se coupant en , le triangle sera le triangle cherché. Il est clair en effet que, par la construction, les points se trouveront respectivement sur les directions de ses côtés de plus son côté , et les deux angles adjacens se trouvant aussi, par construction, égaux au côté et aux deux angles adjacens du triangle donné, d’où il résulte que ces deux triangles sont égaux.
On peut, par le point , mener de deux manières la droite dont la
