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QUESTIONS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

obtient pour les coordonnées des intersections de la droite avec chacun d’eux les valeurs suivantes

$\left\{{\begin{aligned}x&={\frac {2(\alpha -a\beta )}{1+a^{2}}},\\y&=a{\frac {2(\alpha -a\beta )}{1+a^{2}}}+\beta ~;\\\end{aligned}}\right.\qquad \left\{{\begin{aligned}x&={\frac {2(\alpha '-a\beta )}{1+a^{2}}},\\y&=a{\frac {2(\alpha '-a\beta )}{1+a^{2}}}+\beta ~;\\\end{aligned}}\right.$

si donc on veut que la portion de cette droite interceptée entre les deux cercles soit d’une longueur donnée $\mathrm {K}$, on devra avoir

$\mathrm {K} ^{2}=\left\{{\frac {2(\alpha -a\beta )}{1+a^{2}}}-{\frac {2(\alpha '-a\beta )}{1+a^{2}}}\right\}^{2}+a^{2}\left\{{\frac {2(\alpha -a\beta )}{1+a^{2}}}-{\frac {2(\alpha '-a\beta )}{1+a^{2}}}\right\}^{2}$

ou

$\mathrm {K} ^{2}={\frac {4(\alpha -\alpha ')^{2}}{1+a^{2}}}\quad$d'où$\quad a=\pm {\frac {\sqrt {4(\alpha -\alpha ')^{2}-\mathrm {K} ^{2}}}{\mathrm {K} }}~;$

telle est donc la tangente de l’angle qui doit faire la droite cherchée avec l’axe des$x$, d’où l’on voit que le problème aura en général deux solutions, à cause du double signe du radical ; on voit de plus qu’il ne pourra être résolu si l’on a $\mathrm {K} >2(\alpha -\alpha '),$ c’est-à-dire, si la longueur donnée surpasse le double de la distance des centres ; on voit enfin que, si $\mathrm {K}$ est indéterminé, la plus grande valeur qu’il pourra avoir sera $2(\alpha -\alpha '),$ c’est-à-dire, le double de distance entre les centres, auquel cas, $a$ étant nulle, la droite cherchée devra être parallèle à l’axe des $x$. Ainsi, si l’on proposait de mener, par l’une des intersections de deux cercles, une droite de telle manière que la partie de cette droite interceptée entre les deux cercles fût la plus grande possible, ou résoudrait le problème en menant par ce point une parallèle à la droite qui joint les centres ; et la partie interceptée serait double de la distance entre ces centres.

La valeur générale de $a$ fournit cette construction : soient $\mathrm {EX}$ (fig. 5) la droite qui joint les centres, et $\mathrm {EY}$ la direction de la corde commune, de manière que $\mathrm {E}$ soit le point d’intersection de ces deux droites. Soit prise sur $\mathrm {EX}$, à partir de $\mathrm {E}$, une partie $\mathrm {EF}$ égale à la longueur donnée