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QUESTIONS

orthographiquement, de manière que sa projection soit un autre parallélogramme donné d’espèce. En particulier, on peut projeter un parallélogramme orthographiquement ; de manière que sa projection soit un carré.

§. 5.

On peut rechercher immédiatement les angles que les côtés $\mathrm {BX}$ et $\mathrm {BY}$ font avec l’arête $\mathrm {BB'}$, et partant l’inclinaison des plans du triangle projeté et de sa projection orthographique donnée d’espèce.

Que les côtés $\mathrm {BA}$. et $\mathrm {BC}$ de la section perpendiculaire aux arêtes adjacents au point $\mathrm {B}$ soient désignés par $a$ et $c$ ; que l’angle compris soit designé par $\beta$ ; que les angles $\mathrm {B'BX}$ et $\mathrm {B'BY}$ soient désignés par $x$ et par $y$ ; que l’angle $\mathrm {B}$ du triangle $\mathrm {XBY}$ soit désigné par $b$ ; qu’enfin le rapport des côtés $\mathrm {BX}$ et $\mathrm {BY}$ soit celui de $a$ à $\gamma$ ; on aura

$a=\mathrm {BX} \operatorname {Sin} .x,\quad c=\mathrm {BY} \operatorname {Sin} .y$

donc

$a:c=a\operatorname {Sin} .x:\gamma \operatorname {Sin} .y\quad {\text{d’où}}\quad c\operatorname {Sin} .x=\gamma \operatorname {Sin} .y\,;$

donc

$\operatorname {Sin} .y={\frac {c}{\gamma }}\operatorname {Sin} .x,\quad \operatorname {Cos} .y={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{\gamma ^{2}}}\operatorname {Sin} .^{2}x}}.$

Or, dans l’angle solide triangulaire formé en $\mathrm {B}$, par les angles $\mathrm {B'BX,B'BY,XBY}$, on a

$\operatorname {Cos} .\beta ={\frac {\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y}}.$

Mettant pour $\operatorname {Sin} .y$ et $\operatorname {Cos} .y$ leurs valeurs et chassant les dénominateurs, il viendra

$c\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .^{2}x=\gamma \operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .x{\sqrt {\gamma ^{2}-c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}x}},$

dégageant cette équation de l’irrationnalité, et mettant pour sa valeur $1-\operatorname {Sin} .^{2}x,$ elle deviendra, toutes réductions faites,

$c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta \operatorname {Sin} .^{4}x-(c^{2}-2c\gamma \operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .\beta +\gamma ^{2})\operatorname {Sin} .^{2}x+\gamma ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}b=0\,;$