de la droite qui joint les milieux de deux côtés opposés quelconques, plus la somme des quarrés de ces mêmes côtés, moins la somme des quarrés des deux autres ; proposition qui rentre au surplus dans l’une de celles de M. Legrand.
On aura donc pareillement
prenant la demi-différence de ces équations, il viendra, en transposant,
c’est-à-dire : Dans tout quadrilatère, plan ou gauche, la somme des quarrés de deux côtés opposés, plus le double du quarré de la droite qui joint leurs milieux, est égale à la somme des quarrés des deux autres côtés, plus le double du quarré de la droite qui joint les milieux de ces derniers.
Ou autrement : Dans tout tétraèdre, la somme des quarrés de deux arêtes opposées quelconques, plus le double du quarré de la droite qui joint leurs milieux, est une quantité constante.[1]
Si au contraire, on prend la demi-somme de ces équations, il viendra
ce qui démontre la proposition annoncée.
Voici la démonstration de M. Lehault, élève du lycée d’Angers.
Soient (fig. 17) les milieux respectifs des deux diagonales et et soient menées les droites ; on sait[2] que ces huit droites, moitiés des côtés du quadrilatère sont les côtés de deux parallélogrammes dont est une diagonale commune ; on aura donc, par le théorème déjà rappelé,