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QUESTIONS

de la droite qui joint les milieux de deux côtés opposés quelconques, plus la somme des quarrés de ces mêmes côtés, moins la somme des quarrés des deux autres ; proposition qui rentre au surplus dans l’une de celles de M. Legrand.

On aura donc pareillement

$\mathrm {{\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}=4{\overline {MP}}^{2}+\left({\overline {AD}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}\right)-\left({\overline {AB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}\right)\,;}$

prenant la demi-différence de ces équations, il viendra, en transposant,

$\mathrm {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+2{\overline {NQ}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}+2{\overline {MP}}^{2}\,;}$

c’est-à-dire : Dans tout quadrilatère, plan ou gauche, la somme des quarrés de deux côtés opposés, plus le double du quarré de la droite qui joint leurs milieux, est égale à la somme des quarrés des deux autres côtés, plus le double du quarré de la droite qui joint les milieux de ces derniers.

Ou autrement : Dans tout tétraèdre, la somme des quarrés de deux arêtes opposées quelconques, plus le double du quarré de la droite qui joint leurs milieux, est une quantité constante.^[1]

Si au contraire, on prend la demi-somme de ces équations, il viendra

$\mathrm {{\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}=2\left({\overline {MP}}^{2}+{\overline {NQ}}^{2}\right),}$

ce qui démontre la proposition annoncée.

Voici la démonstration de M. Lehault, élève du lycée d’Angers.

Soient $\mathrm {R,S}$ (fig. 17) les milieux respectifs des deux diagonales $\mathrm {BD}$ et $\mathrm {AC,}$ et soient menées les droites $\mathrm {MR,MS,NR,NS,PR,PS,QR,QS}$ ; on sait^[2] que ces huit droites, moitiés des côtés du quadrilatère $\mathrm {ABCD}$ sont les côtés de deux parallélogrammes dont $\mathrm {RS}$ est une diagonale commune ; on aura donc, par le théorème déjà rappelé,

1. Voyez le tome 1.^er des Annales, page 360.
2. Voyez le tome 1.^er des Annales, pages 313 et 353.