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RÉSOLUES.

$\mathrm {{\overline {MR}}^{2}+{\overline {RP}}^{2}+{\overline {PS}}^{2}+{\overline {SM}}^{2}{\text{ ou }}2{\overline {MR}}^{2}+2{\overline {MS}}^{2}}$

ou $\mathrm {2({\tfrac {1}{4}}{\overline {AB}}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\overline {CD}}^{2})={\overline {MP}}^{2}+{\overline {RS}}^{2}\,;}$

ou

$\mathrm {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}=2\left({\overline {NQ}}^{2}+{\overline {RS}}^{2}\right)\,;}$

on aura pareillement

$\mathrm {{\overline {AD}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}=2\left({\overline {NQ}}^{2}+{\overline {RS}}^{2}\right).}$

En prenant la différence de ces équations, on retomberait sur l’un des théorèmes de M. Penjon ; mais si l’on en prend au contraire la somme, il viendra

$\mathrm {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+{\overline {DA}}^{2}=2\left({\overline {MP}}^{2}+{\overline {NQ}}^{2}\right)+4{\overline {RS}}^{2}\,;}$

c’est-à-dire : Dans tout quadrilatère, plan ou gauche, la somme des quarrés des quatre côtés est égale au double de la somme des quarrés des deux droites qui joignent les milieux des côtés opposés, augmenté du quadruple du quarré de celle qui joint les milieux des deux diagonales.

Or, on a, par un théorème connu,^[1]

$\mathrm {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+{\overline {DA}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}+4{\overline {RS}}^{2}\,;}$

donc, en retranchant et transposant,

$\mathrm {{\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}=2\left({\overline {MP}}^{2}+{\overline {NQ}}^{2}\right)\,;}$

ce qui démontre la proposition annoncée.

MM. Bret, professeur à la faculté des sciences de l’académie de Grenoble, Labrousse, professeur de mathématiques à Montélimart, et Rochat, professeur de navigation à St-Brieux, ont démontré le théorème par l’analise. Nous indiquerons seulement la démonstration de M. Bret, qui nous a paru remarquable par sa généralité et son élégante brièveté.

1. Voyez le tome 1.^er des Annales, pages 313 et 353.