Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1811-1812, Tome 2.djvu/360

344

QUESTIONS

deux joueurs, dans d’autres hypothèses que nous n’avions pas en vue ; ce qui, à raison des longueurs qui en résultent, est un inconvénient que ne présentera plus l’emploi des formules générales que nous allons chercher à construire.

IV.

Soit, le nombre total des jetons des deux joueurs. Considérons les états successifs $\mathrm {A_{1},B_{s-1}} \,;$ $\mathrm {A_{2},B_{s-2}} \,;$ $\mathrm {A_{3},B_{s-3}} \,;$ $\ldots \mathrm {A_{s-3},B_{3}} \,;$ $\mathrm {A_{s-2},B_{2}} \,;$ $\mathrm {A_{s-1},B_{1}} \,;$ et désignons respectivement par $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{s-3},x_{s-2},x_{s-1},$ les espérances de $\mathrm {A}$ qui leur répondent. Si $m$ et $n$ représentent les adresses respectives des deux joueurs, la probabilité que $\mathrm {A}$ gagnera une partie quelconque sera ${\frac {m}{m+n}}\,;$ tandis que la probabilité qu’il la perdra sera ${\frac {n}{m+n}}\,;$ en raisonnant donc comme ci-dessus, on obtiendra cette suite d’équations

${\begin{aligned}x_{1}=&{\frac {m}{m+n}}x_{2},\\x_{2}=&{\frac {m}{m+n}}x_{3}+{\frac {n}{m+n}}x_{1},\\x_{3}=&{\frac {m}{m+n}}x_{4}+{\frac {n}{m+n}}x_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\x_{s-3}=&{\frac {m}{m+n}}x_{s-2}+{\frac {n}{m+n}}x_{s-4},\\x_{s-2}=&{\frac {m}{m+n}}x_{s-1}+{\frac {n}{m+n}}x_{s-3},\\x_{s-1}=&{\frac {m}{m+n}}+{\frac {n}{m+n}}x_{s-2}\,;\\\end{aligned}}$

lesquelles seront toujours en même nombre que les inconnues quelles renferment.

Si maintenant on suppose successivement $s=2,3,4,\ldots ,$ ce qui réduira aussi à $2,3,4,\ldots ,$ le nombre des équations ; on trouvera

Pour deux jetons,$x_{1}={\frac {m}{m+n}}={\frac {m(m-n)}{m^{2}-n^{2}}}\,;$