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RÉSOLUES.
Que l’état du jeu lorsque
a
jetons et que
en a
soit désigné par
;
Qu’enfin l’espérance de
lorsqu’il a
jetons soit désignée par
À chaque distribution de jetons, le joueur
a
cas pour obtenir un jeton de plus et
cas pour en avoir un de moins.
En remarquant donc que,
on aura les équations
d’où ![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x_{2}=&{\frac {m+n}{m}}x_{1},\\x_{3}=&{\frac {m+n}{m}}x_{2}-{\frac {n}{m}}x_{1},\\x_{4}=&{\frac {m+n}{m}}x_{3}-{\frac {n}{m}}x_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\x_{p}=&{\frac {m+n}{m}}x_{p-1}-{\frac {n}{m}}x_{p-2}\,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46def9ffdefaf32ba2c33946dd5cb3bd41163355)
Partant les attentes successives de
forment une suite récurrente dont l’échelle de relation est
![{\displaystyle +{\tfrac {m+n}{m}},\quad -{\tfrac {n}{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e10995522358321e0d182e7e8e6646d19d771a)
Cette suite provient du développement de la fraction
![{\displaystyle {\tfrac {1}{1-{\tfrac {m+n}{m}}z+{\tfrac {n}{m}}z^{2}}}={\tfrac {1}{\left(1-z\right)\left(1-{\tfrac {n}{m}}z\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66dc7c36b4e1d9e9d1764d2065dd97749c47328)
laquelle équivaut à la somme de ces deux-ci
![{\displaystyle {\frac {m}{m-n}}\cdot {\frac {1}{1-z}}={\frac {m}{m-n}}\left(1+z+z^{2}+z^{3}+\ldots +z^{p-1}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2be18f10141b8a1bcd195ef0ec4b8e3ebc51d4)
![{\displaystyle -{\frac {n}{m-n}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {n}{m}}z}}={\frac {n}{m+n}}\left(1+{\frac {n}{m}}z+{\frac {n^{2}}{m^{2}}}z^{2}+\ldots +{\frac {n^{p-1}}{m^{p-1}}}z^{p-1}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096b5c036392a6f570adfaaad24943ff000ee4fd)
Partant, on doit avoir,
![{\displaystyle x_{p}={\tfrac {m^{p}-n^{p}}{m^{p-1}(m-n)}}x_{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85225ffe12808fc3b6bd6be90b3b77e1f79c9653)
mais, si l’on suppose que
devienne
et que
soit le