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QUESTIONS

V.

On peut faire diverses observations curieuses sur la question qui nous occupe. Nous nous bornerons aux deux suivantes qui peuvent être utiles.

1.^o En délivrant les valeurs de $x_{p}$ et $y_{q}$ du facteur $m-n$ qui affecte leur numérateur et leur dénominateur, et posant ensuite $n=m,$ elles deviennent toutes réductions faites

$x_{p}={\frac {p}{p+q}},\quad y_{q}={\frac {q}{p+q}}\,;$

ainsi, lorsque les deux joueurs sont d’adresse égale, leurs espérances respectives sont dans le rapport du nombre de leurs jetons ; comme on pouvait bien le prévoir.

2.^o Mais ce serait une erreur de croire qu’à l’inverse, lorsque les jetons sont également répartis entre les deux joueurs, leurs espérances sont proportionnelles à leurs adresses respectives. Si en effet on fait $q=p,$ on a

$x_{p}={\frac {m^{p}}{m^{p}+n^{p}}},\quad y_{p}={\frac {n^{p}}{m^{p}+n^{p}}}\,;$

d’où l’on voit que leurs espérances sont dans le rapport de $m^{p}$ à $n^{p}$ ; lequel ne devient celui de $m$ à $n$ que dans le cas particulier où $p=1.$

Deuxième solution ;

Par MM. Lhuilier, professeur de mathématiques, et Peschier,
professeur de philosophie et inspecteur à l’académie
impériale de Genève.^[1]

Que les deux joueurs soient désignés par $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$^[2] ;

Que leurs adresses respectives soient $m$ et $n$ ;

1. Après nous être communiqué nos solutions, nous les avons trouvées si semblables l’une à l’autre, que nous avons cru devoir les réunir sous une rédaction commune.
2. Pour faciliter la comparaison des résultats, on a cru convenable d’employer ici des notations pareilles à celles du mémoire précédent.
   (Note des éditeurs.)