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QUESTIONS

d’où

$\left({\frac {2}{3}}\right)^{p}={\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2},$

donc $p=2$ et conséquemment $q=3$ ; ainsi il faut donner 2 jetons à $\mathrm {A}$ et 3 à $\mathrm {B.}$

Quant à la question proposée dans la note de la page 224 de ce volume, sa résolution complette exigerait une discussion dans laquelle nous n’avons pas actuellement le loisir de nous engager.^[1]

Nous nous bornerons donc à remarquer que, $x$ désignant toujours le nombre des jetons de $A,$ à un coup quelconque, et $t$ exprimant le nombre des coups qu’il reste encore à jouer, pour que la partie finisse ; si l’on représente par $Z_{x,t}$, la probabilité que la partie finira précisément après ce nombre de coups, cette probabilité, au coup suivant, deviendra $Z_{x+1,t-1}$ ou $Z_{x-1,t-1}$ ; or, la probabilité qu’elle prendra la première de ces deux valeurs est ${\frac {m}{m+n}},$ et la probabilité qu’elle prendra la seconde est ${\frac {n}{m+n}}$ ; on doit donc avoir

$Z_{x,t}={\frac {m}{m+n}}Z_{x+1,t-1}+{\frac {n}{m+n}}Z_{x-1,t-1}\;;$

équation du second ordre aux différences finies et partielles entre les deux variables indépendantes $x,t$ et leur fonction $Z.$ En posant, pour abréger,

$m=M(m+n),\qquad n=N(m+n),$

elle devient

$Z_{x,t}=MZ_{x+1,t-1}+NZ_{x-1,t-1}.\qquad (\Delta )$

Pour intégrer cette équation, on peut encore faire usage de la

1. Ce problème a été aussi traité par M. Laplace : voyez les Mémoires des Savans étrangers ; tome VII, page 153.
   (Note des éditeurs.)