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RÉGULIERS.

perpendiculaire $\mathrm {EN}$ sur $\mathrm {DH}$ ; puisque la ligne $\mathrm {HE}$ est inscrite à la sphère, on aura

$\mathrm {{\frac {..}{..}}a:HE:HN={\frac {{\overline {HE}}^{2}}{a}}\;;}$

de plus

$\mathrm {DN:HN::s:S\;;}$

donc componendo

$\mathrm {DH\left(={\tfrac {1}{2}}a\right):HN\left(={\tfrac {{\overline {HE}}^{2}}{a}}\right)::S+s\left(={\tfrac {{\overline {HE}}^{2}}{20{\overline {LH}}^{2}}}\cdot D\right):S={\tfrac {{\overline {HE}}^{4}}{10a^{2}\cdot {\overline {LH}}^{2}}}\cdot D.}$

II. Imaginons (fig. 3) cinq pyramides qui aient leur sommet commun au centre $\mathrm {D'}$ de la sphère, pour bases les faces contiguës de l’icosaèdre inscrit, et qui soient par conséquent égales au quart de ce solide. Ces pyramides formeront, par leur réunion un solide $\mathrm {TOPQRSD'}$ composé de deux pyramides opposées qui ont pour base commune le pentagone $\mathrm {OPQRS,}$ et dont les axes sont sur le rayon $\mathrm {D'T}$ perpendiculaire à cette base.

Cela posé, nommons $\mathrm {I}$ la solidité de l’icosaèdre, $\mathrm {S'}$ celle de la pyramide ou de l’angle solide $\mathrm {TOPQRS,}$ et $s'$ celle de la pyramide $\mathrm {D'OPQRS}$ ; ayant tiré, dans le plan $\mathrm {OPQRS,}$ la perpendiculaire $\mathrm {OV}$ sur $\mathrm {D'T,}$ et désignant toujours par $a$ le diamètre de la sphère ; la corde inscrite $\mathrm {TO}$ donnera

$\mathrm {{\frac {..}{..}}a:OT:TV={\frac {{\overline {OT}}^{2}}{a}},}$

mais on a

$\mathrm {D'V:VT::s':S',}$

d’où, componendo

$\mathrm {D'T\left(={\tfrac {1}{2}}a\right):VT\left(={\frac {{\overline {OT}}^{2}}{a}}\right)::(S'+s')\left(={\tfrac {1}{4}}I\right):S'={\frac {{\overline {OT}}^{2}}{2a^{2}}}\cdot I.}$

III. On a donc