Si présentement on suppose, au contraire, que le produit constant soit positif ou, ce qui revient au même, que les deux facteurs et soient constamment de mêmes signes ; les droites et se trouvant constamment inclinées dans le même sens, leur point de concours se trouvera toujours hors des parallèles et qui conséquemment seront encore dans ce cas les limites de la courbe, mais de manière que cette courbe, qui d’ailleurs passera toujours par les points n’aura aucun de ses points compris entre elles.
Posant alors
en sorte qu’on ait
l’équation deviendra
qui est celle d’une hyperbole dont le premier et le second axe sont et
Si l’on avait il en résulterait et l’hyperbole serait équilatérale.
Si, sans statuer sur le signe de dans l’équation on y fait
cette valeur de sera réelle ou imaginaire, suivant que sera négatif ou positif ; ce qui explique pourquoi le demi-axe des étant exprimé par dans l’ellipse, il se change en dans l’hyperbole, et réciproquement.
La longueur de étant déterminée, pour une ellipse ou une hyperbole, on voit que la longueur de dépendra du produit et que, pour obtenir l’une ou l’autre courbe, il suffit de faire ce produit constant, en lui assignant d’ailleurs, pour chaque cas, une
