En prenant le produit négativement pour l’ellipse et positivement pour l’hyperbole, on trouvera que l’expression de l’excentricité est
Et si l’on détermine, d’après ces expressions, celles des rayons vecteurs pour les deux courbes, on trouvera toutes leurs propriétés qui y sont relatives, et l’on verra également que la différence des propriétés de l’une et de l’autre tient à la différence de signes du produit c’est-à-dire, à la différence de direction de l’une des droites génératrices. Il en est de même pour ce qui regarde les tangentes aux deux courbes.
Si l’on emploie l’équation telle qu’elle est, sans changer le signe de auquel cas elle exprimera une hyperbole, on pourra la mettre sous cette forme
qui annonce le caractère asymptotique de cette courbe ; puisque son équation tend, de plus en plus, à se changer en celle-ci
qui serait enfin
si les droites génératrices devenaient parallèles. Pour s’assurer de ces résultats, il faut observer que l’abscisse du point de concours ayant pour expression
devient , si l’on a d’où ; ce qui fait évanouir la fraction
