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LIGNES

Si l’origine des abscisses était au point $\mathrm {I',}$ les équations respectives des droites génératrices $\mathrm {I'M}$ et $\mathrm {IM}$ seraient

$y=a'x,\qquad y=a(x-2A)\;;$

supposant $aa'$ négatif, et faisant

$aa'=-{\frac {B^{2}}{A^{2}}},\qquad$d’où$\qquad -2aa'A={\frac {2B^{2}}{A}},$

l’équation de l’ellipse serait

$y^{2}={\frac {2B^{2}}{A}}x+aa'x^{2}.$

La quantité ${\frac {2B^{2}}{A}}$ étant l’expression du paramètre de l’ellipse, en la désignant par $P,$ il viendra

$y=Px+aa'x^{2}.$

La construction sera la même, quel que soit l'éloignement du point $\mathrm {I}$ ; or, si l’on suppose que $\mathrm {IM}$ devienne parallèle à l’axe des $x$, on aura $a=0,$ et l’équation deviendra simplement

$y^{2}=Px,$

équation de la parabole. Or, comme on a

$B=A{\sqrt {-aa'}},\qquad$d’où$\qquad A={\frac {B}{\sqrt {-aa'}}},$

la supposition de $a=0$ donnera $A=\infty$ ; ce qui exprime, en effet, comme l’on sait, le passage de l’ellipse à la parabole.

Quant à cette dernière courbe, nous pourrions nous en tenir à cette considération, qui fait dériver son équation d’une origine commune à celle des autres courbes. On pourrait aussi employer directement une construction analogue aux précédentes, en cherchant la courbe décrite par l’intersection de deux droites mobiles dont l’une est constamment parallèle à l’axe des $x$, pendant que l’autre passe constamment par un point de cet axe. Mais nous nous réservons de revenir sur ce qui concerne la parabole en particulier, par un autre méthode de laquelle nous déduirons, d’une manière plus lumineuse, les principales propriétés de cette courbe.