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QUESTIONS

$B=2C+{\tfrac {c^{2}\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .\beta '\operatorname {Sin} .\beta ''+c'^{2}\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\beta '\operatorname {Sin} .\beta ''+c''^{2}\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\beta '\operatorname {Cos} .\beta ''}{2\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\beta '\operatorname {Sin} .\beta ''}}.$

Présentement pour que ce triangle soit un maximum absolu, il faut qu’on ne puisse faire subir aux angles $\beta ,\beta ',\beta ''$ aucune permutation sans en diminuer la surface ; il faut donc qu’on ait

$2C+{\tfrac {c^{2}\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .\beta '\operatorname {Sin} .\beta ''+c'^{2}\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\beta '\operatorname {Sin} .\beta ''+c''^{2}\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\beta '\operatorname {Cos} .\beta ''}{2\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\beta '\operatorname {Sin} .\beta ''}}$

$>2C+{\tfrac {c^{2}\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .\beta ''\operatorname {Sin} .\beta '+c'^{2}\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\beta ''\operatorname {Sin} .\beta '+c''^{2}\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\beta ''\operatorname {Cos} .\beta '}{2\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\beta ''\operatorname {Sin} .\beta '}}\;;$

inégalité qui, en remarquant que $\operatorname {Sin} .\beta ,\operatorname {Sin} .\beta ',\operatorname {Sin} .\beta ''$ sont essentiellement positifs, devient, en transposant, réduisant et chassant le dénominateur,

$\left(c'^{2}-c''^{2}\right)\operatorname {Sin} .\left(\beta ''-\beta '\right)>0\;;$

il faut donc que

$c'-c''$ et $\beta ''-\beta ',$

soient de mêmes signes, ou qu’en supposant $c'>c''$ on ait $\beta '<\beta ''$ ; ainsi l’angle $\beta$ étant déterminé à correspondre au côté $\mathrm {C,}$ il faut que le plus petit des deux autres angles corresponde au plus grand des deux autres côtés, et vice versa ; d’où il est facile de conclure la construction indiquée ci-dessus.

Nous croyons devoir faire remarquer, en passant, que la valeur de $B$ peut être mise sous cette forme très-simple

$B=2C+{\tfrac {1}{2}}\left\{c^{2}\operatorname {Cot} .\beta +c'^{2}\operatorname {Cot} .\beta '+c''^{2}\operatorname {Cot} .\beta ''\right\}.$

Si l’on suppose, au contraire, donnés les côtés du triangle $\mathrm {BB'B''}$ et les angles du triangle $\mathrm {CC'C'',}$ en posant, pour abréger

$\mathrm {N^{2}} =\left\{{\begin{aligned}&b^{2}\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Sin} .\gamma '\operatorname {Sin} .\gamma ''\\+&b'^{2}\operatorname {Sin} .\gamma \operatorname {Cos} .\gamma '\operatorname {Sin} .\gamma ''+4B\operatorname {Sin} .\gamma \operatorname {Sin} .\gamma '\operatorname {Sin} .\gamma '',\\+&b''^{2}\operatorname {Sin} .\gamma \operatorname {Sin} .\gamma '\operatorname {Cos} .\gamma ''\\\end{aligned}}\right.$

on trouvera

$c={\frac {2B\operatorname {Sin} .\gamma }{\mathrm {N} }},\qquad c'={\frac {2B\operatorname {Sin} .\gamma '}{\mathrm {N} }},\qquad c''={\frac {2B\operatorname {Sin} .\gamma ''}{\mathrm {N} }},$