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DES SURFACES DU 2.d DEGRÉ.
Pour cela posons les valeurs de
en
ces valeurs sont
![{\displaystyle \qquad \qquad {\begin{aligned}x'&=x\operatorname {Cos} .\alpha +y\operatorname {Cos} .\beta +z\operatorname {Cos} .\gamma ,\\y'&=x\operatorname {Cos} .\alpha '+y\operatorname {Cos} .\beta '+z\operatorname {Cos} .\gamma ',\\z'&=x\operatorname {Cos} .\alpha ''+y\operatorname {Cos} .\beta ''+z\operatorname {Cos} .\gamma ''.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca17f80e4a3bb518ce651cac96dbf3c85bd928a)
Substituant ces valeurs dans l’équation
, et comparant celle qui en résulte à l’équation
, on trouve
![{\displaystyle \qquad \left.{\begin{aligned}P\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +P'\operatorname {Cos} .^{2}\alpha '&+P''\operatorname {Cos} .^{2}\alpha ''=A,\\P\operatorname {Cos} .^{2}\beta +P'\operatorname {Cos} .^{2}\beta '&+P''\operatorname {Cos} .^{2}\beta ''=A',\\P\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +P'\operatorname {Cos} .^{2}\gamma '&+P''\operatorname {Cos} .^{2}\gamma ''=A'~;\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(C)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2235341973fd8c1d715577913d5c771e586aead3)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}P\operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma +P'\operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\gamma '&+P''\operatorname {Cos} .\beta ''\cdot \operatorname {Cos} .\gamma ''=B,\\P\operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\alpha +P'\operatorname {Cos} .\gamma '\cdot \operatorname {Cos} .\alpha '&+P''\operatorname {Cos} .\gamma ''\cdot \operatorname {Cos} .\alpha ''=B',\\P\operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta +P'\operatorname {Cos} .\alpha '\cdot \operatorname {Cos} .\beta '&+P''\operatorname {Cos} .\alpha ''\cdot \operatorname {Cos} .\beta ''=B''.\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(D)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d216376362183292327506f9fb8cebf583d0c103)
Il est visible que l’on parviendra à l’équation dont les racines sont
en déterminant, au moyen des équations de condition, les valeurs de ![{\displaystyle P+P'+P'',PP'+P'P''+P''P,PP'P''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2a1093bd6de85602c1cff25393cdf4bdcceffa)
D’abord, si l’on ajoute les équations
on a, en vertu des équations
,
Pour simplifier les calculs suivans, je ferai usage des notations que voici
![{\displaystyle AA'+A'A''+A''A=\int AA',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97857cb5417eb47766b4d50aec6ce73fcab2bac2)
![{\displaystyle P^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma +P'^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\beta '\cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma '+P''^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\beta ''\cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87cb313f915c2b2109424ed7b4a0e95d8be39a8c)
![{\displaystyle =\int P^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9413c7f75c1b0fcf082b09d9f96ae9c98cc5050f)
etc., etc., etc.
Cela posé, dans les équations
, effectuons le produit
nous obtiendrons
![{\displaystyle AA'=\int P^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a488602d9c95540727471a6fcdfcb82e1851f32)
![{\displaystyle +\int PP'(\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta '+\operatorname {Cos} .^{2}\alpha '\cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta )~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe7b346243f197053d5f46e652bc0317238fc50)
or, les équations
donnent
![{\displaystyle B''^{2}=\int P^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta +2\int PP'\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\beta '~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c921324f873a64b1342756ae05ca4ad2efc4b4)