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AXES PRINCIPAUX

retranchant donc ce dernier résultat du précédent, on aura

$AA'-B''^{2}=\int PP'(\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta '-\operatorname {Cos} .\alpha '\cdot \operatorname {Cos} .\beta )^{2}~;$

on aura pareillement

$A'A''-B^{2}=\int PP'(\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma '-\operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\gamma )^{2}~;$

$A''A-B'^{2}=\int PP'(\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha '-\operatorname {Cos} .\gamma '\cdot \operatorname {Cos} .\alpha )^{2}~;$

donc

$\int AA'-\int B^{2}=\int PP'\left\{{\begin{aligned}(\operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta '&-\operatorname {Cos} .\alpha '\cdot \operatorname {Cos} .\beta )^{2},\\+(\operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma '&-\operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\gamma )^{2},\\+(\operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\alpha '&-\operatorname {Cos} .\gamma '\cdot \operatorname {Cos} .\alpha )^{2}.\\\end{aligned}}\right.$

Mais, si du produit des deux premières équations $\mathrm {(A)}$ on retranche le quarré de la quatrième, on aura

$(\operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta '-\operatorname {Cos} .\alpha '\cdot \operatorname {Cos} .\beta )^{2}+(\operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma '-\operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\gamma )^{2}$

$+(\operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\alpha '-\operatorname {Cos} .\gamma '\cdot \operatorname {Cos} .\alpha )^{2}=1\,;$

on a donc simplement

$\int AA'-\int B^{2}=\int PP',{\text{ ou }}\int PP'\int AA'-\int B^{2}.$

Il nous reste encore à trouver $PP'P''$ ; pour y parvenir formons le produit $AA'A''$, dans les équations $\mathrm {(C)}$, nous aurons

$AA'A''=\left\{{\begin{aligned}&\int P^{3}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma ,\\+&\int \mathrm {P^{2}P'} (\operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma '+\operatorname {Cos} ^{2}.\beta \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\alpha '+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta ')\\+&KPP'P''~;\\\end{aligned}}\right.$

$K$ représentant la fonction de cosinus qui multiplie $PP'P''.$

Effectuons aussi le produit des équations $\mathrm {(D)}$, il viendra

$BB'B''=\left\{{\begin{aligned}&\int P^{3}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma ,\\+&\int \mathrm {P^{2}P'} (\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\gamma '+\operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\gamma '\cdot \operatorname {Cos} .\alpha '+\ldots \\&\ldots \operatorname {Cos} .^{2}\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\alpha '\cdot \operatorname {Cos} .\beta ')\\+&K'PP'P''.\\\end{aligned}}\right.$

$K'$ étant le coefficient de $PP'P''.$

Les équations $\mathrm {(C)}$ et $\mathrm {(D)}$ donnent encore

$AB^{2}=\left\{{\begin{aligned}&\int P^{3}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma ,\\+&\int \mathrm {P^{2}P'} (\operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\alpha '+2\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\gamma ')\\+&K''PP'P''~;\\\end{aligned}}\right.$