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DES SURFACES DU 2.^d DEGRÉ.

$A'B'^{2}=\left\{{\begin{aligned}&\int P^{3}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .\operatorname {Cos} .^{2}\beta .\operatorname {Cos} .^{2}\gamma ,\\+&\int P^{2}P'(\operatorname {Cos} .^{2}\gamma .\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .\operatorname {Cos} .^{2}\beta '+2\operatorname {Cos} .^{2}\beta .\operatorname {Cos} .\gamma .\operatorname {Cos} .\alpha .\operatorname {Cos} .\gamma '.\operatorname {Cos} .\alpha ')\\+&K'''PP'P''~;\\\end{aligned}}\right.$

$A''B''^{2}=\left\{{\begin{aligned}&\int P^{3}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .\operatorname {Cos} .^{2}\beta .\operatorname {Cos} .^{2}\gamma ,\\+&\int P^{2}P'(\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .\operatorname {Cos} .^{2}\beta .\operatorname {Cos} .^{2}\gamma '+2\operatorname {Cos} .^{2}\gamma .\operatorname {Cos} .\alpha .\operatorname {Cos} .\beta .\operatorname {Cos} .\alpha '.\operatorname {Cos} .\beta ')\\+&K''''PP'P''.\\\end{aligned}}\right.$

Avec un peu d’attention, on conclura facilement de ces trois dernières équations et des deux précédentes.

$AA'A''+2BB'B''-AB^{2}-A'B'^{2}-A''B''^{2}=F.PP'P''.$ $\mathrm {(E)}$

Pour obtenir la valeur de $F$, j’observe qu’étant simplement une fonction de cosinus, sa valeur est indépendante de celles que l’on peut attribuer aux coefficiens $A,A',A'',B,B',B''$ ; ainsi posons

$A=1,\quad A'=1,\quad A''=1,\quad B=0,\quad B'=0,\quad B''=0,$

Les équations $\mathrm {(C),(D)}$, deviennent les équations $\mathrm {(B)}$, lorsque $P=1,\;P'=1,\;P''=1~;$ donc l’équation $\mathrm {(E)}$ sera vraie, dans la même hypothèse, et comme elle se réduit à $F=1,$ on en conclut que

$PP'P''=AA'A''+2BB'B''-AB^{2}-A'B'^{2}-A''B''^{2}~;$

partant l’équation du troisième degré qui a pour racines $P,P',P'',$ sera

$t^{3}-(A+A'+A'')t^{2}+(A'A''+A''A+AA'-B^{2}-B'^{2}-B''^{2})t$

$+AB^{2}+A'B'^{2}+A''B''^{2}-2BB'B''-AA'A''=0.$