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AU PREMIER DEGRÉ.

l’avantage de coordonner toute la théorie de l’élimination sur un plan unique et régulier.

5. Divisons donc la seconde des équations (A) par la première, dans la vue de déterminer leur plus grand commun diviseur ; la division étant faite et le reste égalé à zéro, on aura

$(ab'-ba')y+ca'-ac'=0,$ (R)

d’où

$y={\frac {ac'-ca'}{ab'-ba'}}.$

Si l’on substitue cette valeur de $y$ dans les deux équations proposées, elles deviendront, toutes réductions faites,

$a\left\{x-{\frac {cb'-bc'}{ab'-ba'}}\right\}=0,\qquad a'\left\{x-{\frac {cb'-bc'}{ab'-ba'}}\right\}=0~;$ (B)

ce qui met à découvert le diviseur commun en $x$ qui résulte de la valeur qu’a pris $y$, dans l’anéantissement du reste de la division ; et le diviseur commun, égalé à zéro, donne la valeur de $x$ qui convient à la question.

Soient ces équations numériques

$3x-2y-4=0,\qquad 5x+3y-51=0.$

Divisant le premier membre de la seconde par le premier membre de la première, au moyen de l’introduction du facteur 3 dans le dividende, on trouvera le reste $19y-133$ qui, étant égalé à zéro, donnera

$y={\frac {111}{19}}=7.$

Cette valeur de $y$, mise dans les deux équations proposées, les réduit à celles-ci

$3(x-6)=0,\qquad 5(x-6)=0,$

qui ont pour commun diviseur le facteur $x-6,$ exprimant la valeur de $x$ commune aux deux équations.

Il est inutile d’observer que, dans la pratique, il suffit de substi-