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ÉLIMINATION

substituant la valeur de $z$ dans $(r')$ ou $(r'')$ , on trouve

y=3~;

substituant enfin les valeurs de $y$ et de $z$ dans les équations proposées elles deviennent

2(x-2)=0,

5(x-2)=0,

3(x-2)=0~;

d’où l’on voit que la valeur de $x$ se présente sous la forme du commun diviseur $x-2$ ^[1].

9. Si les équations proposées n’avaient pas de dernier terme, les restes $\mathrm {(R')}$ et $\mathrm {(R'')}$ se réduiraient à

{\begin{aligned}(ab'\,-ba'\,)y+(ac'\,-ca'\ )z&=0,\\(ab''-ba'')y+(ac''-ca'')z&=0~;\\\end{aligned}}

équations qui, appartenant au cas indiqué (6), font voir sur-le-champ qu’on aurait $y=0,z=0,$ d’où $x=0~;$ à moins cependant que les restes ci-dessus ne fussent nuls d’eux-mêmes, par la nullité des coefficiens de $y$ et de $z$ , ce qui donnerait des valeurs indéterminées pour les inconnues.

10. Si quelques-unes des équations proposées rentraient les unes dans les autres, le caractère indéterminé de la question se manifesterait par la nullité absolue du reste de la division. Soient, par exemple les équations

ax+by-c=0,\qquad m(ax+by-c)=0.

↑ Si les équations proposées appartenaient respectivement à trois plans, la condition $(r')$ exprimerait la projection, sur le plan des $yz$ , de l’intersection du premier et du second plan ; la condition $(r'')$ la projection, sur le même plan, de l’intersection du premier et du troisième ; enfin l’élimination de $y$ , entre $(r')$ et $(r'')$ , la projection, sur l’axe des $z$ , de l’intersection de ces deux droites ; ou, ce qui revient au même, la projection, sur l’axe des $z$ , de l’intersection des trois plans, laquelle aurait ainsi, pour ses équations $z=4,\quad y=3,\quad x=2.$

[1] Si les équations proposées appartenaient respectivement à trois plans, la condition $(r')$ exprimerait la projection, sur le plan des $yz$ , de l’intersection du premier et du second plan ; la condition $(r'')$ la projection, sur le même plan, de l’intersection du premier et du troisième ; enfin l’élimination de $y$ , entre $(r')$ et $(r'')$ , la projection, sur l’axe des $z$ , de l’intersection de ces deux droites ; ou, ce qui revient au même, la projection, sur l’axe des $z$ , de l’intersection des trois plans, laquelle aurait ainsi, pour ses équations $z=4,\quad y=3,\quad x=2.$

[1]