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ÉLIMINATION AU PREMIER DEGRÉ.

La méthode d’Euler, fondée également sur la considération d’un commun diviseur, peut aussi s’appliquer au premier degré ; nous n’en donnerons qu’un seul exemple.

la somme de leurs produits par les indéterminées $m$ et $m'$ sera

(ma+m'a')x+(mb+m'b')y+(mc+m'c')=0.

si l’on veut que $y$ disparaisse, il faudra poser

mb+m'b'=0{\text{ d’où }}m'=-{\frac {mb}{b'}}~;

posant donc, pour plus de simplicité $m=\pm b',$ on aura $m'=\pm b~;$ ainsi, on fera disparaître $y$ de ces équations, en prenant la somme de leurs produits par $\pm b'$ et $\mp b~;$ on trouverait de même que, pour en faire disparaître $x$ , il faut prendre la somme de leurs produits par $\pm a'$ et $\mp a$ , on obtient ainsi

x=-{\frac {cb'-bc'}{ab'-ba'}},\qquad y=-{\frac {ac'-ca'}{ab'-ba'}}.

Soient ensuite les trois équations

{\begin{aligned}a\ \ x+b\ \ y+c\ \ z+d\ \ &=0,\\a'\,x+b'\,y+c'\,z+d'\,&=0,\\a''x+b''y+c''z+d''&=0,\\\end{aligned}}

la somme de leurs produits respectifs par $m,m',m'',$ sera

(ma+m'a'+m''a'')x+(mb+m'b'+m''b'')y+(mc+m'c'+m''c'')z

+(md+m'd'+m''d'')=0.

Si l’on veut que $y$ et $z$ disparaissent, il faudra poser

mb+m'b'+m''b''=0,\qquad mc+m'c'+m''c''=0,

d’où on tirera, par ce qui a été dit ci-dessus,

m'=-{\frac {bc''-cb''}{b'c''-c'b''}}m,\qquad m''=-{\frac {cb'-bc'}{b'c''-c'b''}}m~;

posant donc, pour plus de simplicité, $m=\pm (b'c''-c'b''),$ il viendra $m'=\pm (cb''-bc''),\qquad m''=\pm (bc'-cb').$ Ainsi, on fera disparaître, à la fois, $y$ et $z$ de ces trois équations, en prenant la somme de leurs produits respectifs par