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LOGARITHMIQUES.
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {l} (z+{\sqrt {1+z^{2}}}=2\int \operatorname {d} z{\sqrt {1+z^{2}}}-z{\sqrt {1+z^{2}}}.\;\mathrm {(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d96dd516f1a04ab0e00f736ce498ad2415939c9)
Mais, en se servant de la méthode d’intégration par approximation que j’ai donnée au chapitre IV de la première section de mon calcul intégral (art. 257 et 258)[1], et que je crois nouvelle, on a
![{\displaystyle \int \operatorname {d} z{\sqrt {1+z^{2}}}=z{\sqrt {1+z^{2}}}-{\tfrac {z^{3}}{\sqrt {1+z^{2}}}}\left\{{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {z^{2}}{3\cdot 5(1+z^{2})}}+{\tfrac {z^{4}}{5\cdot 7(1+z^{2})^{2}}}+\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab8d062e481c959987a4f8b87acc96b9b0808f8)
![{\displaystyle \mathrm {(F)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38dfff7ea1f922f02069871b629343471641eca1)
en prenant, comme précédemment, l’intégrale de manière qu’elle s’évanouisse lorsque
.
Substituant cette valeur de
dans l’équation
, on a
![{\displaystyle \mathrm {l} (z+{\sqrt {1+z^{2}}}=z{\sqrt {1+z^{2}}}-{\tfrac {2z^{3}}{\sqrt {1+z^{2}}}}\left\{{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {z^{2}}{3\cdot 5(1+z^{2})}}+{\tfrac {z^{4}}{5\cdot 7(1+z^{2})^{2}}}+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62318b2c8bb9465b87ebddb676a2d3e1072d071c)
![{\displaystyle (\mathrm {G} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a86024a673bc7054997fc2c17b3c122bbbe232e)
Soit fait
![{\displaystyle {\sqrt {1+z^{2}}}={\sqrt {x}}-z={\tfrac {x+1}{2{\sqrt {x}}}},\qquad z{\sqrt {1+z^{2}}}={\tfrac {x^{2}-1}{4x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3017e8f73d296ea53a3cec82610a266fd5fa187b)
![{\displaystyle {\tfrac {2z^{3}}{\sqrt {1+z^{2}}}}={\tfrac {(x-1)^{3}}{2x(x+1)}},\qquad {\tfrac {z^{3}}{1+z^{2}}}=\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/885c3989d76668b0e31730fb0dd5c7fb5d200b0e)
substituant ces valeurs dans l’équation
, en observant que
, et multipliant toute l’équation par 2, on obtiendra la formule
qu’il s’agissait de démontrer.
Si, après avoir divisé les deux membres de l’équation
par
on y suppose
elle deviendra en transposant
- ↑ Cet ouvrage se trouve à Paris, chez l’Auteur, rue St-Jacques, n.o 121, et chez Courcier, quai des augustins, n.o 57.