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DU SECOND ORDRE.

$p',p'',$ et alors les directions des diamètres principaux seront données par les deux équations

$y=p'x,\qquad y=p''x.$

Pour que les deux valeurs de $r^{2},$ tirées de l’équation (4) soient réelles, il faut, comme l’on sait, que la quantité

$\left(A+B-2C\operatorname {Cos} .\gamma \right)^{2}-4\left(AB-C^{2}\right)\operatorname {Sin} .^{2}\gamma$

soit positive ; or, cette quantité est la même chose que la suivante

$(A-B)^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma +\left\{2C-(A+B)\operatorname {Cos} .\gamma \right\}^{2},$

laquelle est essentiellement positive ; ainsi les deux valeurs de $r^{2}$ seront réelles, dans tous les cas.

Maintenant, les valeurs de $r^{2}$ peuvent être ou toutes deux positives, ou l’une positive et l’autre négative, ou enfin toutes deux négatives ; et, d’après les principes connus, l’équation (1) appartiendra à l’ellipse dans le premier cas, à l’hyperbole dans le second, et n’exprimera absolument rien dans le troisième. Dégageant donc le premier terme de l’équation (4) de son coefficient, et appliquant la règle de Descartes, on trouvera, après les réductions convenables, que l’équation (1) appartient à l’ellipse, si l’on a

$AB-C^{2}>0,\qquad D(A+B-2C\operatorname {Cos} .\gamma )>0\,;$

qu’elle appartient à l’hyperbole, si l’on a

$AB-C^{2}<0\,;$

et qu’enfin elle n’exprime rien, si l’on a

$AB-C^{2}>0,\qquad D(A+B-2C\operatorname {Cos} .\gamma )<0.$

En particulier les deux valeurs de $r^{2},$ et par conséquent celles de $r,$ seront égales, si l’on a

$(A-B)^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma +\left\{2C-(A+B)\operatorname {Cos} .\gamma \right\}^{2}=0,$

ce qui ne peut avoir lieu qu’autant qu’on aura à la fois

$A=B,\qquad 2C=(A+B)\operatorname {Cos} .\gamma \,;$

et alors l’équation (1) appartiendra à un cercle.

Dans le cas particulier où les axes des coordonnées seront rectan-