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DU SECOND ORDRE.

diamètres principaux seront donnés par les trois systèmes d’équations

$x=p'z,\qquad x=p''z,\qquad x=p'''z,$

$y=q'z,\qquad y=q''z,\qquad y=q'''z,$

On sait qu’une équation du troisième degré étant

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,$

pour que ses trois racines soient réelles et inégales, il faut qu’on ait

$4\left(3ac-b^{2}\right)\left(3bd-c^{2}\right)-\left(9ad-bc\right)^{2}>0\,;$

en appliquant cette condition aux valeurs de $r^{2},$ données par l’équation (4), on se convaincra qu’elles sont toutes trois réelles, et qu’ainsi on peut juger de leurs signes par les signes des termes de cette équation.

L’équation (1) appartiendra à l’ellipsoïde, si les trois valeurs de $r^{2}$ sont positives ; elle appartiendra à l’hyperboloïde à une nappe, si une seule des valeurs de $r^{2}$ est négative ; elle appartiendra à l’hyperboloïde à deux nappes, si une seule des valeurs de $r^{2}$ est positive ; enfin l’équation (1) n’exprimera absolument rien, si les valeurs de $r^{2},$ données par l’équation (4), sont toutes trois négatives ; c’est-à-dire, si tous les termes de cette équation ont le même signe.

Si deux des valeurs de $r^{2}$ sont égales ; c’est-à-dire si, en conservant les notations qui viennent d’être employées, on a

$4\left(3ac-b^{2}\right)\left(3bd-c^{2}\right)=\left(9ad-bc\right)^{2},$

l’équation (1) appartiendra à une surface de révolution. Si enfin les trois valeurs de $r^{2},$ étant positives, sont égales entre elles, ce qui arrivera, si l’on a, à la fois

$3ac=b^{2},\qquad 3bd=c^{2}\,;$

l’équation (1) appartiendra à une sphère.

Dans le cas particulier où les axes des coordonnées seront rectangulaires, on aura

$\operatorname {Sin} .\alpha =1,\qquad \operatorname {Sin} .\beta =1,\qquad \operatorname {Sin} .\gamma =1,$

$\operatorname {Cos} .\alpha =0,\qquad \operatorname {Cos} .\beta =0,\qquad \operatorname {Cos} .\gamma =0,$

d’où