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NUMÉRIQUES.
6. Il a été prouvé, dans le même ouvrage que
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .m\varpi }{\operatorname {Sin} .n\varpi }}={\frac {(+m)^{n-m|+1}}{(-m)^{n-m|-1}}}={\frac {(-n)^{m-n|-1}}{(+n)^{m-n|+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85829a10e1b6a32e386544646b6f04653292cefb)
faisant
et faisant ensuite successivement
et
il viendra
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .h\varpi ={\frac {(+h)^{{\tfrac {1}{2}}-h|+1}}{(-h)^{{\tfrac {1}{2}}-h|-1}}}={\frac {4h(1-h)(0,5)!(0,5)!}{h!(1-h)!}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c7b8970e282b871768eebcabbb2247aba0973f3)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .h\varpi ={\frac {({\tfrac {1}{2}}-h)^{h|+1}}{(-{\tfrac {1}{2}}+h)^{h|-1}}}={\frac {4h({\tfrac {1}{2}}-h)({\tfrac {1}{2}}+h)(0,5)!(0,5)!}{({\tfrac {1}{2}}-h)!({\tfrac {1}{2}}+h)!}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5937cdab868229c7af3324c7949643f368e961)
et, comme il est prouvé que
![{\displaystyle ({\tfrac {1}{2}})!=(0,5)!=({\tfrac {1}{2}}){\sqrt {\varpi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9802f6700896575431a588493c1ed534a726c4e8)
ces formules pourront être écrites comme il suit :
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .h\varpi ={\frac {h(1-h)}{h!(1-h)!}}\varpi ,\qquad \operatorname {Cos} .h\varpi ={\frac {({\tfrac {1}{2}}-h)({\tfrac {1}{2}}+h)}{({\tfrac {1}{2}}-h)!({\tfrac {1}{2}}+h)!}}\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191543d9288b4f018549222bffb1139598879c90)
Ainsi, moyennant la table que nous venons de donner, on trouvera facilement, et jusqu’à dix décimales, le sinus, le cosinus et la tangente de tout angle proposé.
7. L’intégrale
![{\displaystyle \int t^{m-1}e^{-t^{n}}\mathrm {d} t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e36e87c301527c50ca8eda8af54c2a017483f97)
prise depuis
jusqu’à
étant égale à
![{\displaystyle {\frac {1^{{\frac {m}{n}}|1}}{m}}={\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)!}{m}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8969b2a344fc7a6b03a66da0e92c44d8495be2)
le logarithme de cette intégrale, pour toutes les valeurs de
et de
se trouvera facilement par le moyen de la table.
8. L’intégrale
![{\displaystyle \int y^{m-1}\left(1-y^{r}\right)^{n}\mathrm {d} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc638ed00eb8ce9fcc1e7d1497ce5a12b9ca4f7)
prise depuis
jusqu’à
étant égale à