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FACULTÉS

${\frac {r^{n|r}}{m^{n+1|r}}}={\frac {n!}{m^{n+1|r}}}r^{n}\,;$

en employant les réductions qui ont été enseignées, on trouvera pour l’expression de cette intégrale

${\frac {n!\left({\frac {m}{r}}-1\right)!}{r.\left({\frac {m}{r}}+n\right)!}}\,;$

formule facile à calculer au moyen de notre table.

9. Venons présentement au calcul de cette table ; soient $B_{2},B_{4},B_{6},B_{8},\ldots$ les nombres de Bernoulli, à partir du second, en sorte qu’on ait $B_{2}=+{\frac {1}{12}},B_{4}=-{\frac {1}{120}},\ldots$^[1]. Dans l’ouvrage cité, j’ai employé la notation $\Gamma y,$ pour désigner la série

1. On sait que ces nombres se déduisent les uns des autres au moyen de la formule
   ${\frac {1}{n+1}}+(-1)^{n}B_{n+1}=B_{1}-{\frac {n}{1}}B_{2}+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}B_{3}-{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}{\frac {n-2}{3}}B_{4}$
   $+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}{\frac {n-2}{3}}{\frac {n-3}{4}}B_{5}\ldots \,;$

   en y faisant successivement $n$ égal à $1,2,3,4,\ldots \,;$ voici les dix qui suivent le premier, avec leurs valeurs approchées, en décimales

   ${\begin{array}{lcl}B_{2}&=+{\frac {1}{12}}&=+0{,}08833\;33333\;33,\\B_{4}&=-{\frac {1}{120}}&=-0{,}00833\;33333\;33,\\B_{6}&=+{\frac {1}{252}}&=+0{,}00396\;82539\;68,\\B_{8}&=-{\frac {1}{240}}&=-0{,}04666\;66666\;67,\\B_{10}&=+{\frac {1}{132}}&=+0{,}00757\;57575\;76,\\B_{12}&=-{\frac {691}{32760}}&=-0{,}02109\;27960\;93,\\B_{14}&=+{\frac {1}{12}}&=+0{,}08333\;33333\;33,\\B_{16}&=-{\frac {3617}{8160}}&=-0{,}44325\;98039\;22,\\B_{18}&=+{\frac {43867}{14364}}&=+3{,}05395\;43302\;70,\\B_{20}&=-{\frac {174611}{6600}}&=-26{,}45621\;21212\;12.\\\end{array}}$
   J. D. G.