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FACULTÉS

qu’on ait toujours $x+y=2a+1,\ a$ étant un nombre entier quelconque, il viendra

$x!y!={\frac {2\varpi }{e^{h\varpi }+e^{-h\varpi }}}\left({\tfrac {1}{4}}+h^{2}\right)\left({\tfrac {9}{4}}+h^{2}\right)\left({\tfrac {25}{4}}+h^{2}\right)\left({\tfrac {49}{4}}+h^{2}\right)\ldots \left\{{\frac {(2a+1)^{2}}{4}}+h^{2}\right\}.$

24. L’analise que nous venons de développer n’est nullement bornée au cas proposé ; et si l’on demandait soit la valeur du produit

$\left\{1+{\frac {x^{n}}{a^{n}}}\right\}\left\{1+{\frac {x^{n}}{(a+r)^{n}}}\right\}\left\{1+{\frac {x^{n}}{(a+2r)^{n}}}\right\}\left\{1+{\frac {x^{n}}{(a+3r)^{n}}}\right\}\ldots ,$

soit celle du produit

$\left\{1-{\frac {x^{n}}{a^{n}}}\right\}\left\{1-{\frac {x^{n}}{(a+r)^{n}}}\right\}\left\{1-{\frac {x^{n}}{(a+2r)^{n}}}\right\}\left\{1-{\frac {x^{n}}{(a+3r)^{n}}}\right\}\ldots ,$

continué à l’infini, on la trouverait encore, en suivant rigoureusement les mêmes principes.

25. Jusqu’ici nous avons supposé que les facteurs de nos factorielles constituaient toujours une progression arithmétique du premier ordre ; c’est-à-dire, une progression ayant ses premières différences constantes ; et ces sortes de fonctions peuvent être appelées Factorielles du premier ordre. On peut aussi imaginer une suite de facteurs constituant une progression arithmétique du second ordre ; c’est-à-dire, une progression ayant ses secondes différences constantes, telle que

${\begin{aligned}&a,\\&a+b,\\&a+2b+c,\\&a+3b+3c,\\&a+4b+6c,\\&a+5b+10c,\\&\ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

Le terme qui répondrait à l’indice $n$ serait alors,

$a+{\frac {n-1}{1}}b+{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-3}{2}}c.$