Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/135

131

NUMÉRIQUES.

Un semblable produit pourrait être appelé Factorielles du second ordre ; et, pour peu qu’on suive le développement de la plupart de nos séries, on verra que ces factorielles, de même que celles des ordres supérieurs, c’est-à-dire, celles dans lesquelles ce sont les différences d’un ordre plus élevé que le second, qui sont constantes, doivent se rencontrer très-fréquemment. Heureusement toutes ces factorielles sont réductibles à celles du premier ordre, moyennant une décomposition analitique fort simple. On peut toujours, en effet, pour le second ordre, déterminer les deux premiers termes $A,A',$ et les deux premières différences $r,r',$ de manière que le terme général

$a+{\frac {n-1}{1}}b+{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-3}{2}}c.$

devienne équivalent au produit

$\left[A+(n-1)r\right]\left[A'+(n-1)r'\right],$

indépendamment de l’indice $n.$ Il faudra, pour cela, résoudre les trois équations

$AA'=a,\qquad Ar'+A'r=b-{\tfrac {1}{2}}c,\qquad rr'={\tfrac {1}{2}}c\,;$^[1]

on aura alors

${\begin{aligned}a&=AA',\\a+b&=(A+r)(A'+r'),\\a+2b+c&=(A+2r)(A'+2r'),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

en sorte que la factorielle proposée du second ordre deviendra le simple produit

$A^{n|r}\times A'^{n|r'}$

1. Les inconnues $A,A',r,r'$ de ces trois équations étant au nombre de quatre, on pourra disposer de l’une d’elles pour rendre les valeurs des autres les plus simples possibles,
   J. D. G.