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RÉSOLUES.
sorte que
soient respectivement les points de contact du cercle avec ses côtés
Soient tirées les cordes
joignant les points de contact opposés (ou alternatifs)
et
et
lesquelles se coupent en
; enfin, de ce point
soient menées à deux sommets alternatifs quelconques
du quadrilatère circonscrit, les droites
; je dis que ces deux droites n’en feront qu’une.
En effet,
![{\displaystyle {\text{dans les triangles}}\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {OBH} \\&\mathrm {ODH} \\\end{aligned}}\right\}{\text{on a}}\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {OH:BH} ::\operatorname {Sin} .\mathrm {OBH} :\operatorname {Sin} .\mathrm {BOH} ,\\&\mathrm {OH:DH} ::\operatorname {Sin} .\mathrm {ODH} :\operatorname {Sin} .\mathrm {DOH} \,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4df5538b1c1204da0d83001ffc57b4bc31781d)
mais
; donc
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\mathrm {OBH} :\operatorname {Sin} .\mathrm {ODH} ::\operatorname {Sin} .\mathrm {BOH} :\operatorname {Sin} .\mathrm {DOH} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c79147886fb65c319457812ddfcf7c54157799)
Pareillement,
![{\displaystyle {\text{dans les triangles}}\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {OEF} \\&\mathrm {OAF} \\\end{aligned}}\right\}{\text{on a}}\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {OF:EF} ::\operatorname {Sin} .\mathrm {OEF} :\operatorname {Sin} .\mathrm {EOF} ,\\&\mathrm {OF:AF} ::\operatorname {Sin} .\mathrm {OAF} :\operatorname {Sin} .\mathrm {AOF} \,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bdcfb68de6ceab2467b15ac568fe48d907cd23c)
mais
; donc
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\mathrm {OEF} :\operatorname {Sin} .\mathrm {OAF} ::\operatorname {Sin} .\mathrm {EOF} :\operatorname {Sin} .\mathrm {AOF} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8cc03d0f6557f7a9ecf60158b3655c277b6bc4)
De plus,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\mathrm {OBH=180^{\circ }-OEF,} \\&\mathrm {ODH=180^{\circ }-OAF\,;} \\\end{aligned}}\right\}{\text{donc}}\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .\mathrm {OBH} =\operatorname {Sin} .\mathrm {OEF} ,\\&\operatorname {Sin} .\mathrm {ODH} =\operatorname {Sin} .\mathrm {OAF} ,\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2580531a8fcb9660d8031a4793cc2bb2937cbe)
donc
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\mathrm {BOH} :\operatorname {Sin} .\mathrm {DOH} ::\operatorname {Sin} .\mathrm {EOF} :\operatorname {Sin} .\mathrm {AOF} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7660dfb9ae67b61e624a38176371332a7d06bfc5)
mais
; donc (Lemme)
donc
sont en ligne droite ; c’est-à-dire, que les diagonales du quadrilatère circonscrit passent par l’intersection des droites qui joignent les points de contact opposés. C. Q. F. D.[1]
- ↑ La proposition étant ainsi démontrée pour le cercle, se trouve l’être aussi pour toute section conique, qui peut toujours être considérée comme la perspective d’un certain cercle.
J. D. G.