Le théorème dont il s’agit n’est qu’un cas particulier du suivant, dont nous allons donner la démonstration.
THÉORÈME. Si, à une ligne quelconque du second ordre, on circonscrit un quadrilatère complet quelconque ; le point d’intersection de deux quelconques des trois diagonales de ce quadrilatère, sera aussi le point d’intersection des deux droites qui joindront les points où les côtés opposés du quadrilatère simple, auquel ces diagonales appartiennent, sont touchés par la courbe.
Démonstration, Soient prises pour axes des coordonnées deux droites, dont l’une passe par deux quelconques des points de contact, et dont l’autre passe par les deux autres ; la courbe, rapportée à ces deux axes, aura une équation de la forme
On en déduira la situation de ces points, en y faisant successivement et égal à zéro et résolvant l’équation résultante.
Soient donc désignés par les deux points de contact qui sont situés sur l’axe des et par ceux qui sont situés sur l’axe des en posant, pour abréger,
on trouvera les coordonnées de ces points ainsi qu’il suit :
Cela posé, on sait que l’équation de la tangente menée à la courbe par un point dont les coordonnées sont peut être mise sous cette forme
