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SUR LES POLYÈDRES.

Cela posé, soit un polyèdre dont une face soit transparente ; et concevons que l’œil s’approche assez de cette face, extérieurement, pour qu’il puisse apercevoir l’intérieur de toutes les autres faces ; ce qui sera toujours possible, lorsque le polyèdre sera convexe. Les choses étant ainsi disposées, concevons qu’il soit fait, sur le plan de la face transparente, une perspective de l’ensemble de toutes les autres. En conservant les mêmes notations que ci-dessus, cette perspective sera un polygone divisé en $F-1$ compartimens polygonaux, terminés par $A$ droites concourant en $S$ points. On aura donc, par ce qui précède,

$(F-1)+S=A+1,$

d’où

$F+S=A+2.$

Ceci ne s’applique généralement, à la vérité, qu’aux polyèdres convexes ; mais nous avons déjà vu que la proposition étant vraie pour les polyèdres de cette nature, elle l’est aussi pour tous les autres.

Au surplus, quelque simple que soit cette démonstration, on lui préférera peut-être encore, avec raison, la belle démonstration de M. Cauchy^[1], qui a le précieux avantage de ne supposer nullement que le polyèdre soit convexe.

8. Si l’on veut que, dans un polyèdre, toutes les faces aient un même nombre $f$ de côtés, et tous les angles solides un même nombre $s$ d’arêtes, on aura, pour déterminer $A,F,S$ les trois équations

$fF=2A,\qquad sS=2A,\qquad S+F=A+2.$

Ces équations n’éprouvant aucun changement, lorsqu’on y permute à la fois $f$ contre $s$ et $F$ contre $S,$ on en conclut que les polyèdres de cette nature sont réciproques, deux à deux ; en sorte que, dans les deux d’une même couple, le nombre des arêtes est le même,

1. Voyez la Correspondance sur l’école polytechnique, tom. II, n.^o 3, janvier 1811, page 253.