et que, de plus, le nombre des faces de chacun est le même que le nombre des sommets de l’autre ; ce qui permet de les inscrire ou circonscrire l’un à l’autre.
De ces équations on tire
La nécessité d’avoir pour des nombres entiers positifs, plus grands que 2, borne les solutions de ces équations aux suivantes :
On conclut de là que non seulement il n’y a que cinq corps réguliers, mais qu’il ne peut exister que cinq sortes de polyèdres, réguliers ou non, dont toutes les faces aient le même nombre de côtés, et tous les angles solides le même nombre d’arêtes.
On voit, en outre, que la sphère peut, sous trois points de vue différens, être considérée comme un polyèdre régulier, ayant des faces infiniment petites en nombre infini ; ces faces pouvant être ou des triangles réunis six par six, ou des hexagones réunis trois par trois, ou enfin des quarrés réunis quatre par quatre.
On voit encore qu’un plan ne peut être exactement couvert avec des polygones d’une même sorte, assemblés en même nombre autour de chaque sommet, que de trois manières différentes, savoir : avec des triangles rassemblés six par six ; 2.o avec des quarrés assemblés quatre par quatre ; 3.o avec des hexagones assemblés trois par trois.
On voit enfin que les polyèdres réguliers de mêmes couples sont le tétraèdre avec lui-même, l’hexaèdre avec l’octaèdre, le dodécaèdre avec l’icosaèdre, la sphère couverte d’hexagones avec la sphère cou-
