M. Lhuilier remarque que les deux équations et étant susceptibles d’être démontrées directement, et indépendamment l’une de l’autre, il en résulte de nouveau ; mais il ne croit pas devoir s’arrêter à développer ce moyen de démonstration.
10. M. Lhuilier indique encore un autre moyen de démonstration assez simple, et que je vais développer brièvement.
Soient respectivement les nombres de faces de sommets et d’arêtes d’un tronc de prisme que, pour fixer les idées, on peut supposer faire partie d’un prisme droit ; si l’on désigne par le nombre des côtés du polygone qui sert de base à ce tronc, on aura évidemment
d’où
c’est-à-dire, que, dans un tronc de prisme, le nombre des faces, augmenté du nombre des sommets, surpasse de deux unités le nombre des arêtes.
Soit présentement un corps formé par une suite de troncs de prismes droits, dont les bases inférieures, toutes situées sur un même plan horizontal, et contiguës les unes aux autres, forment, par leur réunion, un poligone unique ; ces troncs se trouvant unis les uns aux autres par des faces latérales égales. Par un raisonnement semblable à celui qui a été développé (5), on prouvera aisément que, dans le corps formé de l’assemblage de ces prismes, le nombre des faces, augmenté du nombre des sommets, surpasse de deux unités le nombre des arêtes.
La base supérieure de ce corps est une surface polyèdre non fermée. Désignons par le nombre de ses faces, par le nombre de ses sommets, et par le nombre de ses arêtes. Soit le nombre des côtés de la base inférieure du même corps ; soient le nombre total de ses faces, le nombre total de ses sommets et le nombre total de ses arêtes, nous aurons évidemment
