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SUR LES POLYÈDRES.

verte de triangles, et enfin la sphère couverte de quarrés avec elle-même^[1].

9. Après avoir démontré, de la manière que nous avons dit ci-dessus, le théorème fondamental d’Euler, M. Lhuiiier s’occupe de la démonstration du second théorème, relatif à l’expression de la somme des angles des faces d’un polyèdre : voici cette démonstration.

Soient $f_{3},f_{4},f_{5},\ldots f_{n},$ les nombres qui expriment combien il y a, dans un polyèdre, de faces ayant respectivement 3, 4, 5,… $n$ côtés ; soient $F$ le nombre total des faces du polyèdre, $A$ le nombre de ses arêtes, et $V$ la valeur totale des angles de ses faces. L’angle droit étant pris pour une unité, on aura

$V=2f_{3}(3-2)+2f_{4}(4-2)+2f_{5}(5-2)+\ldots +2f_{n}(n-2),$

ou

$V=2\left(3f_{3}+4f_{4}+5f_{5}+\ldots +nf_{n}\right)-4\left(f_{3}+f_{4}+f_{5}+\ldots +f_{n}\right),$

ou, enfin,

$V=4A-4F=4(A-F)\,;$

c’est-à-dire, la somme des angles des faces d’un polyèdre vaut quatre angles droits, pris autant de fois qu’il y a d’unités dans l’excès du nombre des arêtes de ce polyèdre sur le nombre de ses faces.

L’équation $F+S=A+2$ donnant $A-F=S-2$ ; on a aussi

$V=4(S-2)\,;$

c’est-à-dire, la somme des angles des faces d’un polyèdre vaut quatre angles droits pris autant de fois moins deux que le polyèdre a de sommets.

1. Dans les Mémoires de l’académie des sciences de Paris, pour 1725, M. de Mairan a donné des recherches curieuses relatives à l’inscription et à la circonscription du cube à l’octaèdre ; mais personne, que je sache, ne s’est occupé des mêmes questions relativement aux autres couples de polyèdres. Les recherches de ce genre exigent d’autant plus de sagacité qu’on ne saurait guère y appliquer les méthodes ordinaires.