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DE L’ÉLIMINATION.

que $X''''$ doit renfermer $Y''^{2}$ comme facteur. En effet, $X'',X''',X''''$ étant respectivement des polynômes en $x$ des degrés $n-1,n-2,n-3,$ à chaque valeur $y=\beta ,\beta ',\beta '',\ldots ,$ tirée de l’équation $Y''^{2}=0,$ il correspondra dans l’équation $X''=0,$ dont le premier terme disparaîtra, $n-2$ valeurs de $x$ qui devront également satisfaire aux équations $X'''=0,X''''=0\;;$ donc $X''''$, qui est un polynôme du degré $n-3$ par rapport à $x$, devra être nul de lui-même lorsqu’on y fera $y=\beta ,\beta ',\beta '',\ldots \;;$ puisque, dans le cas contraire, une équation aurait plus de racines que d’unités dans son exposant^[1]. Le calcul prouve, en effet, que $X''''$ est divisible par $Y''^{2}$^[2]. Quant à $X''',$ comme pour $y=\beta ,\beta ',\beta '',\ldots$, il reste

1. Ceux qui ne sont pas accoutumés à la marche de l’analise pourraient croire que ce raisonnement prouve seulement que $X''''$ est divisible par $Y''$ ; mais, bien que l’équation $Y''^{2}=0$ ait ces racines égales deux à deux, ces racines ne s’en comportent pas moins comme autant de racines distinctes et inégales.
2. Si, entre les équations
   $Y''^{2}X'=X''q'+X''',\qquad$ $Y'''^{2}X''=X'''q''+X'''',$

   on élimine $X''',$ il viendra

   $X'''=X''(Y'''^{2}+q'q'')-q''X'Y''^{2}\,;$

   or, comme $q''X'Y''^{2}$ est divisible par $Y''^{2},$ la question se trouve réduite à prouver que $Y'''^{2}+q'q''$ est aussi divisible par $Y''2$.

   Pour y parvenir, soient posés

   ${\begin{aligned}X'&=A'x^{n}+B'x^{n-1}+C'x^{n-2}+D'x^{n-3}+\ldots ,\\X''&=A''x^{n-1}+B''x^{n-2}+C''x^{n-3}+D''x^{n-4}+\ldots ,\\X'''&=A'''x^{n-2}+B'''x^{n-3}+C'''x^{n-4}+D'''x^{n-5}+\ldots ,\\\end{aligned}}$

   en sorte qu’on ait

   $Y''=A'',\qquad Y'''=A'''\,;$

   il faudra prouver que

   $A'''^{2}+(M'x+N')(M''x+N''),$