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SUR LES POLYÈDRES.

En général, un corps peut être compris entre $n$ surfaces polyèdres fermées, extérieures les unes aux autres, et une surface polyèdre fermée qui les renferme toutes ; en conservant d’ailleurs les mêmes notations que ci-dessus, on a alors

$F+S=A+2(n+1).$

Si l’on représente par $V$ la valeur totale de la somme des angles des faces d’un tel polyèdre, on aura (9)

$V=4(A-F)=4\left[S-2(n+1)\right].$

12. La seconde sorte d’exception a lieu, lorsque le polyèdre est annulaire ; c’est-à-dire, lorsqu’étant d’ailleurs compris sous une surface unique, il a une ouverture qui le traverse de part en part.

Concevons que l’on fasse à un tel anneau une section plane qui, en supposant les deux faces de la section séparées, le fasse rentrer dans la classe des polyèdres ordinaires ; soient alors désignés par $F'$ le nombre de ses faces, par $S'$ le nombre de ses sommets, et par $A'$ le nombre de ses arêtes ; on aura, comme ci-dessus,

$F'+S'=A'+2.$

Soient $n$ les nombres de côtés de deux faces de la section ; concevons que l’on soude ces deux faces l’une à l’autre, pour rétablir le polyèdre dans son état primitif ; soient alors $S,F,A$ les quantités analogues à celles que nous avions désignées par $S',F',A',$ lorsque le polyèdre était ouvert ; en raisonnant comme nous l’avons fait (2), on se convaincra qu’on doit avoir

$F+S-A=F'+S'-A'-2=2-2=0,$

ou