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RECHERCHES

$F+S=A\,;$

c’est-à-dire, que, dans un tel polyèdre, le nombre des faces, augmenté du nombre des sommets, est précisément égal au nombre des arêtes.

En général un polyèdre terminé par une surface unique peut être percé, de part en part, par un nombre plus ou moins grand d’ouvertures distinctes. Si $n$ désigne le nombre de ses ouvertures, on aura

$F+S=A-2(n-1).$

Si l’on représente par $V$ la valeur totale de la somme des angles des faces d’un tel polyèdre, on aura (9)

$V=4(A-F)=4\left[S+2(n-1)\right].$

13. J’avais, depuis long-temps, remarqué ces deux premières sortes d’exceptions ; mais M. Lhuilier est, je crois, le premier qui ait fait attention à la troisième ; et elle devait d’autant plus facilement échapper à l’observation des géomètres, que les polyèdres auxquels elle est relative, ne paraissent pas différer essentiellement de ceux que l’on est dans l’usage de considérer. Cette troisième sorte d’exception a lieu, lorsque quelques-unes des faces du polyèdre sont des polygones compris dans l’exception qui a été développée (4) ; comme, par exemple, lorsqu’une des faces du polyèdre est une couronne polygonale ; ainsi qu’il arrive, lorsque le polyèdre résulte de l’union de deux autres polyèdres, par deux faces inégales, dont la plus petite se trouve entièrement comprise dans la plus grande.

Pour passer, de suite, au cas le plus général, supposons que l’une des faces du polyèdre soit comprise entre $n$ polygones extérieurs les uns aux autres et un polygone qui les renferme tous. Il est facile