Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/195

189

SUR LES POLYÈDRES.

part en part, et qu’enfin plusieurs des faces soient bornées par des polygones intérieurs au nombre de $p,p',p'',\ldots$ pour chacune d’elles respectivement ; on aura

$F+S=A+2(i-o+1)+(p+p'+p''+\ldots )\,;$

et conséquemment la condition nécessaire et suffisante pour que le polyèdre ne fasse pas exception au théorème d’Euler, sera

$2i+ps+p'+p''+\ldots =2o.$

GÉOMÉTRIE.

Démonstration de deux théorèmes de polyédrométrie ;

Par M. Français, professeur de mathématiques à l’école
impériale de l’artillerie et du génie.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

En désignant par $S$ le nombre des sommets ou angles solides d’un polyèdre quelconque ; par $A$ le nombre de ses arêtes ; par $F$ le nombre de ses faces ; par $P$ la somme des angles plans de ces mêmes faces ; et enfin par $D$ un angle droit ; on a ces deux théorèmes d’Euler

$S+F=A+2\,;\quad (1)\qquad P=4D(S-2).\quad (2)\qquad$^[1]

1. Voyez le précédent mémoire.
   J. D. G.