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RECHERCHES

Soient représentées, de plus, par $S_{1}$ la somme des angles solides ou polyèdres, et par $A_{1}$ la somme des angles dièdres.^[1]

Cela posé, soit $p$ un angle polyèdre quelconque, formé par un nombre $n$ de faces ; soit $s$ la somme des angles dièdres que ces faces forment consécutivement, et par conséquent ${\frac {s}{2}}$ la somme des inclinaisons consécutives de ces faces^[2] ; on aura

$p={\frac {s}{2}}-2D(n-2).\quad (3)\qquad$^[3]

Si l’on évalue de la même manière tous les angles solides d’un polyèdre, et qu’on les ajoute ensemble ; la somme de tous les $p$ deviendra $S_{1}$ ; celle de tous les $s$ deviendra $2A_{1}$ (car chacun des angles dièdres se trouve répété deux fois) ; la somme des $n,$ par la même raison, deviendra $2A$ ; et le nombre $-2$, se trouvant répété autant qu’il y a d’angles solides, deviendra $-2S$ ; ainsi on aura

$S_{1}=A_{1}-2D(2A-2S)=A_{1}-4D(A-S).\qquad$ (4)

Cette équation, mise sous la forme

$S.4D-S_{1}=A.4D-A_{1},\qquad$ (5)

exprime une propriété bien simple et bien remarquable des polyèdres,

1. Je distingue l’angle dièdre de l’inclinaison des deux plans qui forment cet angle : cette inclinaison n’est égale qu’à la moitié de l’angle dièdre qui, pour l’uniformité, doit, comme les angles polyèdres, être mesuré par la portion de surface sphérique qu’il intercepte. Or, un angle dièdre équivaut à deux angles trièdres, ayant chacun pour mesure l’inclinaison des deux plans qui forment l’angle dièdre.
   Note de M. Français.
2. Voyez la précédente note.
3. Voyez la Géométrie de M. Legendre, liv. vii, prop. xxiv.
   J. D. G.