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RÉSOLUES.

$[\gamma ,\alpha ,\theta ,\lambda ],\qquad [\beta ,\lambda ,\delta ,\phi ],$

sont de même classe, sans être de même genre ; que les produits

$[\gamma ,\alpha ,\theta ,\lambda ],\qquad [\lambda ,\gamma ,\alpha ,\theta ],$

sont à la fois de même classe et de même genre ; qu’enfin tous les produits renfermés dans l’expression symbolique

$[\gamma ,\alpha ,\theta ,\lambda ],$

sont, à la fois de même classe, de même genre et de même espèce.

Ces préliminaires établis, l’objet que nous nous proposons ici est de déterminer, parmi tous les produits de $n$ facteurs qu’on peut faire avec $m$ lettres données, 1.^o combien il s’y en trouve d’une classe déterminée quelconque ; 2.^o combien, dans une même classe, il s’y en trouve d’un genre déterminé quelconque ; 3.^o enfin combien dans un même genre, il s’y en trouve d’une espèce déterminée quelconque.

Occupons-nous d’abord de la recherche du nombre des produits d’une même classe. Soit, en général, désigné par $C_{p}$ le nombre des produits de la classe $p$ ; c’est-à-dire, le nombre des produits dans lesquels il entre $p$ séries de facteurs consécutifs.

D’abord, pour les produits de première classe, ou de $n$ lettres consécutives, on voit que chacune des lettres $a,b,c,\ldots ,$ excepté les $n-1$ dernières, peut être combinée avec les $n-1$ lettres qui la suivent immédiatement ; en sorte qu’on doit avoir

$C_{1}={\frac {m-n+1}{1}}.$

Pour parvenir à l’expression de $C_{2},$ c’est-à-dire, du nombre des produits de la seconde classe, désignons-les par $[\alpha ,n-\alpha ]$ et cherchons d’abord ceux d’entre eux qui renferment la lettre $a.$ Pour les former, il faudra d’abord joindre à $a$ les $\alpha -1$ lettres qui la suivent consécutivement ; et, comme la lettre qui suivra immédiatement la dernière de ce produit ne pourra être employée, on ne pourra lui adjoindre que les produits de première clasie qu’il sera possible de former