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QUESTIONS

avec les $m-\alpha -1$ lettres restantes, en les prenant $n-\alpha$ à $n-\alpha$ ; le nombre de ces derniers produits, et conséquemment le nombre total des produits de deuxième classe qui doivent renfermer $a$ se trouvera donc, en changeant $m$ en $m-\alpha -1$ et $n$ en $n-\alpha ,$ dans la précédente formule ; ce qui donnera $m-n$ pour le nombre des produits de la forme $[\alpha ,n-\alpha ]$ où entre la lettre $a$ ; faisant donc successivement $\alpha =1,2,\ldots n-1,$, on aura évidemment, pour le nombre total des produits de seconde classe où, entre $a$

$(n-1)(m-n).$

Ayant fait ainsi de la lettre $a$ tout l’emploi que la nature de la question peut permettre, on déterminera le nombre des produits de seconde classe où elle n’entre pas, mais où entre $b,$ en cherchant combien on peut faire de produits de cette classe avec $m-1$ lettres ; ce qui donnera.

$(n-1)(m-n-1)\,;$

on trouvera pareillement que le nombre de ceux dans lesquels il n’entre ni $a$ ni $b,$ mais qui contiennent $c$ est

$(n-1)(m-n-2)\,;$

et ainsi de suite, en sorte qu’on aura, pour le nombre total des produits de la seconde classe,

$C_{2}=(n-1)\left[(m-n)+(m-n-1)+(m-n-2)\ldots +2+1\right]\,;$

c’est-à-dire,

$C_{1}={\frac {n-1}{1}}.{\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.$

Passons aux produits de troisième classe. Désignons toujours par $\alpha$ le nombre des facteurs qui composent la première série, et cherchons d’abord ceux de ces produits qui renferment le facteur $a.$ Il faudra comme ci-dessus, écrire d’abord à la droite de cette lettre les $\alpha -1$ lettres qui la suivent consécutivement, supprimer la $(\alpha +1)^{me}$ lettre et faire tous les produits de seconde classe que peuvent fournir les $m-\alpha -1$ lettres restantes, prises $n-\alpha$ à $n-\alpha$ ; changeant donc $m$ en $m-\alpha -1$ et $n$ en $n-\alpha$ dans l’expression de $C_{2},$ il viendra