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DES ÉCHELLES.

mules (23), (24), (25), (26) de l’équation (22), considérée comme une équation à échelles.

10. Nous prendrons, pour second exemple, la formule

${\tfrac {a+\operatorname {Cos} .\alpha }{1+2a\operatorname {Cos} .\alpha +a^{2}}}=\operatorname {Cos} .\alpha -a\operatorname {Cos} .2\alpha +a^{2}\operatorname {Cos} .3\alpha -a^{3}\operatorname {Cos} .4\alpha +\ldots ,$

qu’on trouve dans les Mathématical mémoirs de Landen, tome 1.^er page 106. Étant débarrassée du dénominateur, elle devient

$(27)\ a+\operatorname {Cos} .\alpha =\left(1+2a\operatorname {Cos} .\alpha +a^{2}\right)\left(\operatorname {Cos} .\alpha -a\operatorname {Cos} .2\alpha +a^{2}\operatorname {Cos} .3\alpha -a^{3}\operatorname {Cos} .4\alpha +\ldots \right).$

Faisons d’abord $a=\mathrm {E} ^{\xi }$ : en multipliant par $\phi x,$ nous aurons

$(28)\qquad \left\{{\begin{aligned}\phi (x+\xi )+\phi x\operatorname {Cos} .\alpha &=\\\left[\phi x+2\phi (x+\xi )\operatorname {Cos} .\alpha +\phi (x+2\xi )\right]&\operatorname {Cos} .\alpha \\-\left[\phi (x+\xi )+2\phi (x+2\xi )\operatorname {Cos} .\alpha +\phi (x+3\xi )\right]&\operatorname {Cos} .2\alpha \\+\left[\phi (x+2\xi )+2\phi (x+3\xi )\operatorname {Cos} .\alpha +\phi (x+4\xi )\right]&\operatorname {Cos} .3\alpha \\-\left[\phi (x+3\xi )+2\phi (x+4\xi )\operatorname {Cos} .\alpha +\phi (x+5\xi )\right]&\operatorname {Cos} .4\alpha \\+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\\\end{aligned}}\right.$

Soient successivement $\phi x=\operatorname {Sin} .x$ et $\phi x=\operatorname {Cos} .x$ ; l’équation précédente donnera, en observant qu’on a $\operatorname {Sin} .\left[x+n\xi \right]+\operatorname {Sin} .\left[x+(n+2)\xi \right]$$=2\operatorname {Sin} .\left[x+(n+1)\xi \right]\operatorname {Cos} .\xi$ et $\operatorname {Cos} .\left[x+n\xi \right]+\operatorname {Cos} .\left[x+(n+2)\xi \right]$$=2\operatorname {Cos} .\left[x+(n+1)\xi \right]\operatorname {Cos} .\xi ,$

$(29)\ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {Sin} .x+{\tfrac {1}{2}}.{\tfrac {\operatorname {Cos} .x\operatorname {Sin} .\xi }{\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {Cos} .\xi }}$

$=\operatorname {Sin} .(x+\xi )\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Sin} .(x+2\xi )\operatorname {Cos} .2\alpha +\operatorname {Sin} .(x+3\xi )\operatorname {Cos} .3\alpha -\ldots$

$(30)\ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cos} .x-{\tfrac {1}{2}}.{\tfrac {\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .\xi }{\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {Cos} .\xi }}$

$=\operatorname {Cos} .(x+\xi )\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .(x+2\xi )\operatorname {Cos} .2\alpha +\operatorname {Cos} .(x+3\xi )\operatorname {Cos} .3\alpha -\ldots$

Si, dans ces deux équations, on fait $x=0$ et $\xi =\alpha ,$ elles deviendront

$(31)\ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tang} .\alpha =\operatorname {Sin} .2\alpha -\operatorname {Sin} .4\alpha +\operatorname {Sin} .6\alpha -\operatorname {Sin} .8\alpha +\ldots$

$(32)\ {\tfrac {1}{2}}=\operatorname {Cos} ^{2}.\alpha -\operatorname {Cos} ^{2}.2\alpha +\operatorname {Cos} ^{2}.3\alpha -\operatorname {Cos} ^{2}.4\alpha +\ldots$

Soit, en second lieu, $a=\xi \partial ,$ dans l’équation (27) ; en la multipliant par $\phi x,$ on obtient