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DES ÉCHELLES.
ticulier le cas où l’équation aux échelles a des racines égales. Dans
ce cas, qui a toujours plus ou moins embarrassé les géomètres[1], les intégrales cessent d’être complettes ; et il faut, pour les rendre
telles, recourir à une nouvelle considération. Jusqu’à présent, on a
généralement employé celle de l’infini, qui est peu satisfaisante. Nous
allons la remplacer par une autre plus simple et plus rigoureuse, et que, pour plus de clarté et de brièveté, nous appliquerons à un exemple.
18. Supposons que l’équation (53) ait trois racines égales
on aura On ne satisferait qu’imparfaitement à cette équation, en supposant ; car il faut exprimer que c’est
qui est zéro, et non pas seulement ni
Pour exprimer cette circonstance, j’observe qu’on a
dire donc que est la même chose que de supposer l’équation suivante :
Soit actuellement tel qu’on ait
ce qui suppose aussi ; ;
on aura évidemment donc
d’où on tire, par notre marche ordinaire,
Or, à cause de on a
valeur qu’on peut mettre sous la forme
l’équation (58) devient alors
Cette intégrale satisfait à
indépendamment des relations qui existent entre et En effet,
- ↑ Voyez les pages 46 et 139 de ce volume.
J. D. G.