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SÉPARATION

les échelles détachées donnent

(53)

$\partial ^{n}+a_{1}\partial ^{n-1}+a_{2}\partial ^{n-2}+\ldots +a_{n}=0,$

(54)

$\Delta _{\xi }^{n}+a_{1}\Delta _{\xi }^{n-1}+a_{2}\Delta _{\xi }^{n-2}+\ldots +a_{n}=0.$

En supposant que les racines de ces deux équations, résolues par rapport à $\partial \,$ et à $\Delta _{\xi }$ soient $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots \alpha _{n},$ on pourra les mettre sous la forme

$(\partial -\alpha _{1})(\partial -\alpha _{2})(\partial -\alpha _{3})\ldots (\partial -\alpha _{n})=0\,;$

$(\Delta _{\xi }-\alpha _{1})(\Delta _{\xi }-\alpha _{2})(\Delta _{\xi }-\alpha _{3})\ldots (\Delta _{\xi }-\alpha _{n})=0,$

Ces deux équations sont satisfaites par les deux systèmes suivans

${\begin{alignedat}{4}\partial -\alpha _{1}&=0,&\partial -\alpha _{2}&=0,&\partial -\alpha _{3}&=0,\ldots &\partial -\alpha _{n}&=0\,;\\\Delta _{\xi }-\alpha _{1}&=0,\quad &\Delta _{\xi }-\alpha _{2}&=0,\quad &\Delta _{\xi }-\alpha _{3}&=0,\ldots \quad &\Delta _{\xi }-\alpha _{n}&=0\end{alignedat}}$

En multipliant ces équations par la fonction détachée, elles deviennent

${\begin{alignedat}{3}\partial \phi x-\alpha _{1}\phi x=&0,&\partial \phi x-\alpha _{2}\phi x=&0,&\partial \phi x-\alpha _{3}\phi x=&0,\ldots \\\Delta _{\xi }\phi x-\alpha _{1}\phi x=&0,\ &\Delta _{\xi }\phi x-\alpha _{2}\phi x=&0,\ &\Delta _{\xi }\phi x-\alpha _{3}\phi x=&0,\ldots \\&&&&\partial \phi x-\alpha _{n}\phi x=&0\,;\\&&&&\Delta _{\xi }\phi x-\alpha _{n}\phi x=&0\end{alignedat}}$

dont les intégrales sont, d’après, les n.^os 12 et 14,

$\phi x=c_{1}e^{\alpha _{1}x},\qquad \phi x=c_{2}e^{\alpha _{2}x},\ldots \phi x=c_{n}e^{\alpha _{n}x}\,;$

$\phi x=c_{1}\left(1+\alpha _{1}\right)^{\frac {x}{\xi }},\qquad \phi x=c_{2}\left(1+\alpha _{2}\right)^{\frac {x}{\xi }},\ldots \phi x=c_{n}\left(1+\alpha _{n}\right)^{\frac {x}{\xi }}\,;$

et, puisque les deux équations proposées sont linéaires, leurs intégrales complettes seront les sommes de ces deux systèmes d’intégrales particulières ; elles seront, par conséquent,

(55)

$\phi x=c_{1}e^{\alpha _{1}x}+c_{2}e^{\alpha _{2}x}+c_{3}e^{\alpha _{3}x}+\ldots c_{n}e^{\alpha _{n}x},$

(56)

$\phi x=c_{1}\left(1+\alpha _{1}\right)^{\frac {x}{\xi }}+c_{2}\left(1+\alpha _{2}\right)^{\frac {x}{\xi }}+\ldots c_{n}\left(1+\alpha _{n}\right)^{\frac {x}{\xi }}.$

Notre méthode d’intégration, pour les équations linéaires des ordres supérieurs, consiste donc à décomposer l’échelle en ses facteurs du premier degré, et à multiplier chacun de ces facteurs par la fonction détachée ; ce qui réduit l’intégration de ces équations à celle d’autant d’équations linéaires du premier ordre qu’il y a de facteurs.

17. Pour completter cette théorie, il nous faut examiner en par-