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TRIGONOMÉTRIQUES.

Si l’on divise le premier membre de l’équation (D) par le second, et vice versa, il viendra

\operatorname {Tang} .\omega \operatorname {Tang} .3\omega \ldots \operatorname {Tang} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega )

=\operatorname {Cot} .\omega .\operatorname {Cot} .3\omega \ldots \operatorname {Cot} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega )=1

L’équation (A) peut être écrite ainsi

1=2^{\frac {2m-1}{2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi }{4m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {3\varpi }{4m}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {5\varpi }{4m}}\ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {(2m-1)\varpi }{4m}}\,;

en y mettant pour $m$ la valeur ${\tfrac {\varpi }{4\omega }}$ et ayant égard à l’équation (D), elle devient

{\frac {1}{2^{\frac {\varpi -2\omega }{4\omega }}}}=\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .3\omega \ldots \operatorname {Sin} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega )

=\operatorname {Cos} .\omega \operatorname {Cos} .3\omega \ldots \operatorname {Cos} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega ).

L’équation (II) divisée par $\operatorname {Sin} .{\frac {x}{m}}$ devient

{\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Sin} .{\frac {x}{m}}}}=2^{m-1}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi +x}{m}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi +x}{m}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {3\varpi +x}{m}}\ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {(m-1)\varpi +x}{m}}\,;

faisant, dans cette équation, $x=0,$ en remarquant qu’alors on doit avoir

{\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Sin} .{\frac {x}{m}}}}=m,

^[1]

il viendra, en divisant par $2^{m-1}$ ,

{\frac {m}{2^{m-1}}}=\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi }{m}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi }{m}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {3\varpi }{m}}\ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {(m-1)\varpi }{m}}\,;

posant alors ${\frac {\varpi }{m}}=\omega ,$ d’où $m={\frac {\varpi }{\omega }},$ il viendra

{\frac {\varpi }{2^{{\frac {\varpi }{\omega }}-1}.\omega }}=\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .2\omega \operatorname {Sin} .3\omega \ldots \operatorname {Sin} .(\varpi -\omega ).\qquad \mathrm {(E)}