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FORMULES
Or, par l’hypothèse,
étant un nombre entier,
doit en être un aussi ; c’est-à-dire, que
est un sous-multiple de
Si, en outre, il est aussi un sous-multiple de
ce qui aura toujours lieu, dans la nouvelle division du cercle, toutes les fois que
sous-multiple de
ne sera pas 8° ou 40° ; la série (E) aura un nombre
impair de facteur ; et le
facteur, qui sera le moyen entre tous, sera
; de plus, les
facteurs situés à la droite de celui-là, seront respectivement égaux aux
facteurs situés à sa gauche, puisque la somme des arcs également distants des extrêmes et constamment égaie à
Donc, en extrayant la racine quarrée des deux membres de l’équation (E), il viendra
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {\varpi }{2^{{\frac {\varpi }{\omega }}-1}.\omega }}}\left\{{\begin{aligned}&=\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .2\omega \operatorname {Sin} .3\omega \ldots \operatorname {Sin} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega \right),\\&=\operatorname {Cos} .\omega \operatorname {Cos} .2\omega \operatorname {Cos} .3\omega \ldots \operatorname {Cos} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega \right)\,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6b1354d006561fb962605540efaf4d757fd60d)
d’où on tire encore les équations
![{\displaystyle 1\quad \left\{{\begin{aligned}&=\operatorname {Tang} .\omega \operatorname {Tang} .2\omega \operatorname {Tang} .3\omega \ldots \operatorname {Tang} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega \right),\\&=\operatorname {Cot} .\omega \operatorname {Cot} .2\omega \operatorname {Cot} .3\omega \ldots \operatorname {Cot} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega \right)\,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb8d2a2c19672115ace8503b96158faadbeedd8)
Si nous posons
; nous aurons
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {\varpi }{2^{{\frac {\varpi }{\omega }}-1}.\omega }}}={\sqrt {\frac {200}{2^{199}}}}={\sqrt {\frac {400}{2^{200}}}}={\frac {20}{2^{100}}}={\frac {10}{2^{99}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d3dd06d6cb56a3991ebf873ef39d280fb6b39d)
en passant donc aux logarithmes de Briggs, nous trouverons
![{\displaystyle \operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .1^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .2^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .3^{\circ }+\ldots +\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .99^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2d92db46d37f997b72ce9aa91458156eafcb18)
![{\displaystyle =1-99^{\circ }\operatorname {Log} .2,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a7d954a4e9603b264ac76866969dc522382422)
![{\displaystyle \mathrm {(F)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38dfff7ea1f922f02069871b629343471641eca1)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .1^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .2^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .3^{\circ }+\ldots +\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .99^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0507369a998f4a2198989b5ae1691240ad4e1c)
![{\displaystyle =0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4165b0a7e9c94dba85d124e58a83d335ef7d796e)
![{\displaystyle \mathrm {(G)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d25f83f4788988d547abbaf574ae5768d06d3d5)
mais si au rayon l’on veut substituer le rayon
comme on le fait dans les tables trigonométriques, afin d’éviter les
logarithmes négatifs, il faudra ajouter 99 dixaines au second