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SÉPARATION
![{\displaystyle (114)\ \partial ^{n}u=u+{\tfrac {n}{1}}\left(\operatorname {Log} .\partial \right).u+{\tfrac {n^{2}}{1.2}}\left(\operatorname {Log} .\partial \right)^{2}.u+{\tfrac {n^{3}}{1.2.3}}\left(\operatorname {Log} .\partial \right)^{3}.u+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505241de7744c10a92e81e7c598dce5655af6c59)
et fait voir que l’analogie que M. Brisson a cru entrevoir entre on
et
est complète ; puisque le développement de ces deux expressions est le même, et ne diffère qu’en ce que
est un symbole de quantité et
une caractéristique d’opération. Mais il y a cette différence, entre le développement (114) et celui de M. Brisson, que le premier procède suivant les puissances de
, et le sien suivant elles de
Cet exemple fournit une nouvelle preuve des erreurs que peut faire commettre l’analogie entre les puissances et les différences, lorsqu’on ne détache pas les échelles.
33. M. Brisson a cru entrevoir aussi le germe d’un nouveau calcul, dans sa caractéristique
, qui est notre
Feu mon frère était depuis long-temps en possession de la théorie de ce calcul, qu’il a étendue à des calculs de la même espèce, d’ordres supérieurs. Toute cette théorie repose sur l’équation aux échelles
La caractéristique
est à la caractéristique
ce que celle-ci est à
des différences finies ; car, de même qu’on a
on a aussi
Ce nouveau calcul pourrait donc être appelé
Calcul différentiel du second ordre ; il a évidemment son inverse, dont la caractéristique est
de sorte qu’on a
Si l’on fait de même
on aura les bases d’autant de nouveaux calculs différentiels, des
3me, 4me,… ordres. Voici les relations de définition qui lient ces différens calculs entre eux.
![{\displaystyle {\begin{array}{lllll}\mathrm {E} =1+\Delta ,&\mathrm {E} _{1}=1+\partial ,&\mathrm {E} _{2}=1+\partial _{1},&\mathrm {E} _{3}=1+\partial _{2},&\ldots ,\\\mathrm {E} =e^{\partial },&\mathrm {E} _{1}=e^{\partial _{1}},&\mathrm {E} _{2}=e^{\partial _{2}},&\mathrm {E} _{3}=e^{\partial _{3}},&\ldots ,\\\Delta =e^{\partial }-1,&\mathrm {E} _{1}=e^{\partial _{1}}-1,&\mathrm {E} _{2}=e^{\partial _{2}}-1,&\mathrm {E} _{3}=e^{\partial _{3}}-1,&\ldots .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cec1b04136f7a6993f732045b27e3486cbd0ec0)
Metz, le 7 de septembre 1811.