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ATTRACTION
depuis
jusqu’à
l’on obtiendra la valeur de
relative à la moitié antérieure de l’ellipsoïde, et qu’en conséquence il suffira de doubler le résultat obtenu entre ces limites, pour que l’intégrale proposée soit étendue à la masse entière du corps.
Commençons l’intégration par rapport à
Il est facile de prouver que l’on a en général
![{\displaystyle \int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l}={\frac {1}{2n+1}}.\operatorname {Sin} .\phi ^{2n+1}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d556b1e572287c717a94c1aba3c548fc5fbb218)
![{\displaystyle +{\frac {2l-1}{2n+1}}\int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n+2}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l-2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e61bd8b81f9bf84cbd5c153049c6db7b8c5654d)
mais, en intégrant depuis
jusqu’à
le premier terme de cette intégrale devient toujours nul ; donc l’on aura, en continuant cette transformation,
![{\displaystyle \int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l}={\tfrac {2l-1}{2n+1}}.{\tfrac {2l-3}{2n+3}}.{\tfrac {2l-5}{2n+5}}.\ldots {\tfrac {1}{2n+2l-1}}\int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n+2l}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a83652c6f1886b3f0e2f8b3f1d80176ee4b8c3e)
Or, par les formules connues, on trouve, entre les mêmes limites,
![{\displaystyle \int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n+2l}={\frac {1.3.5.7\ldots (2n+2l-1)}{2.4.6.8\ldots (2n+2l)}}\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a957e119897b0f2563fb48ea05d2bf328b8d7b)
en nommant
le rapport de la circonférence au diamètre.
Donc
![{\displaystyle \int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l}={\tfrac {1.3\ldots (2l-1)}{(2n+1)(2n+3)\ldots (2n+2l-1)}}.{\tfrac {1.3\ldots (2n+2l-1)}{2.4.6\ldots (2n+2l)}}\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15bda57a076668f406b500d5104ed00d871da70)
ou bien, en réduisant,
![{\displaystyle (1)\ \int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l}={\frac {\left[1.3.5\ldots (2n-1)\right]\left[1.3.5\ldots (2l-1)\right]}{2.4.6\ldots (2n+2l)}}.\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181289a84faeaab9f490a13ad98c781f89e7165d)
Pour effectuer, l’intégration par rapport à
remarquons que l’on a, en général,
![{\displaystyle \int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Sin} .\theta ^{2m+2}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}=-{\frac {\operatorname {Sin} .\theta ^{2m+1}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+2}}{2m+2n+2l+3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074e7e3cb4fea058abb724e50bc91cfd2fe5c7f8)
![{\displaystyle +{\frac {2m+1}{2m+2n+2l+3}}\int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Sin} .\theta ^{2m}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc68b5d712fc7abd4800c0795a36a24c53b51d1)
mais, entre les limites
le premier terme du second membre de cette équation deient toujours nul ; donc l’on aura, en continuant cette transformation,