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DES SPHÉROÏDES.
![{\displaystyle \int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Sin} .\theta ^{2m+2}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a8c41d919c33dbb46437923fc7f80a7e8ff198)
![{\displaystyle {\tfrac {(2m+1)(2m-1)\ldots 1}{(2m+2n+2l+3)(2m+2n+2l+1)\ldots (2n+2l+3)}}\int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1fd9b3ddef36ca6a8e1c776be89e3e49e530750)
or, par les formules connues, on trouve, entre les mêmes limites,
![{\displaystyle \int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}={\frac {2.4.6\ldots (2n+2l)}{3.5.7\ldots (2n+2l+1)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8fcf1e64aaae94f5015644abc5d90da6b211af)
partant
![{\displaystyle (2)\ \int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Sin} .\theta ^{2m+2}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}={\tfrac {\left[1.3.5\ldots (2m+1)\right]\left[2.4.6\ldots (2n+2l)\right]}{3.5.7\ldots (2m+2n+2l+3)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7be2b7aa924b5312b9241df96d36556d443c5d)
En doublant le produit des formules (1) et (2), et posant
![{\displaystyle M={\frac {4\varpi }{3}}.kk'k''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21d88b0f851595fc447e9dc1a1ce4b18f201d4f1)
l’on obtient enfin
![{\displaystyle \mathrm {(B)} \ \int x^{2m}.y^{2n}.z^{2l}.\operatorname {d} M=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6341f9e7d2ef724d0122fbf81ea03649f1d738e6)
![{\displaystyle {\tfrac {\left[1.3.5\ldots (2m-1)\right]\left[1.3.5\ldots (2n-1)\right]\left[1.3.5\ldots (2l-1)\right]}{5.7.9\ldots (2m+2n+2l+3)}}Mk^{2m}.k'^{2n}.k''^{2l}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938a2d88793ddf345881c046068aa58beafe7932)
Ce beau théorème est dû à M. Lagrange.[1]
4. Reprenons actuellement la valeur de
donnée par la série (A), et remarquons qu’en conséquence du théorème renfermé dans la formule (B), la valeur de
sera exprimée par une suite de la forme
où
représentent des fonctions rationnelles et entières de
. Or, il est démontré que
doit toujours être une fonction des excentricités de l’ellipsoïde[2], donc il doit nécessairement exister, entre les coefficiens
des rapports tels, qu’ils réduiront la valeur précédente de
à cette forme :
- ↑ Voyez les Mémoires de l’académie de Berlin, armées 1792 et 1793, page 262.
- ↑ Voyez la Mécanique céleste.